פתור את 11x^2+140x-196=

$$11 { x }^{ 2 } +140x-196=$$

פרק לגורמים

$$\left(11x-14\right)\left(x+14\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 11x^{2}+ax+bx-196. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=140 ab=11\left(-196\right)=-2156$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -2156.

$$-1,2156 -2,1078 -4,539 -7,308 -11,196 -14,154 -22,98 -28,77 -44,49$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+2156=2155 -2+1078=1076 -4+539=535 -7+308=301 -11+196=185 -14+154=140 -22+98=76 -28+77=49 -44+49=5$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 140.

$$a=-14 b=154$$

שכתב את ‎11x^{2}+140x-196 כ- ‎\left(11x^{2}-14x\right)+\left(154x-196\right).

$$\left(11x^{2}-14x\right)+\left(154x-196\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 14 בקבוצה השניה.

$$x\left(11x-14\right)+14\left(11x-14\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 11x-14 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(11x-14\right)\left(x+14\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$11x^{2}+140x-196=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-140±\sqrt{140^{2}-4\times 11\left(-196\right)}}{2\times 11}$$

‎140 בריבוע.

$$x=\frac{-140±\sqrt{19600-4\times 11\left(-196\right)}}{2\times 11}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎11.

$$x=\frac{-140±\sqrt{19600-44\left(-196\right)}}{2\times 11}$$

הכפל את ‎-44 ב- ‎-196.

$$x=\frac{-140±\sqrt{19600+8624}}{2\times 11}$$

הוסף את ‎19600 ל- ‎8624.

$$x=\frac{-140±\sqrt{28224}}{2\times 11}$$

הוצא את השורש הריבועי של 28224.

$$x=\frac{-140±168}{2\times 11}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎11.

$$x=\frac{-140±168}{22}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-140±168}{22} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-140 ל- ‎168.

$$x=\frac{28}{22}$$

צמצם את השבר ‎\frac{28}{22} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=\frac{14}{11}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-140±168}{22} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎168 מ- ‎-140.

$$x=-\frac{308}{22}$$

חלק את ‎-308 ב- ‎22.

$$x=-14$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{14}{11} במקום x_{1} וב- ‎-14 במקום x_{2}.

$$11x^{2}+140x-196=11\left(x-\frac{14}{11}\right)\left(x-\left(-14\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$11x^{2}+140x-196=11\left(x-\frac{14}{11}\right)\left(x+14\right)$$

החסר את x מ- \frac{14}{11} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$11x^{2}+140x-196=11\times \frac{11x-14}{11}\left(x+14\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎11 ב- ‎11 ו- ‎11.

$$11x^{2}+140x-196=\left(11x-14\right)\left(x+14\right)$$

הערך

$$\left(11x-14\right)\left(x+14\right)$$