פתור את 10(1000-x)(1+0.2%x)geq12x

$$10(1000-x)(1+0.2 \% x) \geq 12x$$

פתור עבור x

$$x\in \begin{bmatrix}-50\sqrt{201}-50,50\sqrt{201}-50\end{bmatrix}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

הרחב את ‎\frac{0.2}{100} על-ידי הכפלת המונה והמכנה ב- 10.

$$10\left(1000-x\right)\left(1+\frac{2}{1000}x\right)\geq 12x$$

צמצם את השבר ‎\frac{2}{1000} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$10\left(1000-x\right)\left(1+\frac{1}{500}x\right)\geq 12x$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 10 ב- 1000-x.

$$\left(10000-10x\right)\left(1+\frac{1}{500}x\right)\geq 12x$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 10000-10x ב- 1+\frac{1}{500}x ולכנס איברים דומים.

$$10000+10x-\frac{1}{50}x^{2}\geq 12x$$

החסר ‎12x משני האגפים.

$$10000+10x-\frac{1}{50}x^{2}-12x\geq 0$$

כנס את ‎10x ו- ‎-12x כדי לקבל ‎-2x.

$$10000-2x-\frac{1}{50}x^{2}\geq 0$$

הכפל את אי-השוויון ב- ‎-1 כדי להפוך את המקדם של החזקה הגבוהה ביותר ב- ‎10000-2x-\frac{1}{50}x^{2} לחיובי. מאחר -1 שלילי, כיוון אי-השוויון משתנה.

$$-10000+2x+\frac{1}{50}x^{2}\leq 0$$

כדי לפתור את אי-השוויון, פרק לגורמים את האגף השמאלי. ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$-10000+2x+\frac{1}{50}x^{2}=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎\frac{1}{50} ב- a, את ‎2 ב- b ואת ‎-10000 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times \frac{1}{50}\left(-10000\right)}}{\frac{1}{50}\times 2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{201}}{\frac{1}{25}}$$

פתור את המשוואה ‎x=\frac{-2±2\sqrt{201}}{\frac{1}{25}} כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=50\sqrt{201}-50 x=-50\sqrt{201}-50$$

שכתב את אי-שוויון באמצעות הפתרונות שהתקבלו.

$$\frac{1}{50}\left(x-\left(50\sqrt{201}-50\right)\right)\left(x-\left(-50\sqrt{201}-50\right)\right)\leq 0$$

כדי שהמכפלה תהיה ≤0, אחד מהערכים ‎x-\left(50\sqrt{201}-50\right) ו- ‎x-\left(-50\sqrt{201}-50\right) צריך להיות ≥0 והשני צריך להיות ≤0. התבונן במקרה שבו x-\left(50\sqrt{201}-50\right)\geq 0 ו- x-\left(-50\sqrt{201}-50\right)\leq 0.

$$x-\left(50\sqrt{201}-50\right)\geq 0 x-\left(-50\sqrt{201}-50\right)\leq 0$$

זהו שקר עבור כל x.

$$x\in \emptyset$$

התבונן במקרה שבו x-\left(50\sqrt{201}-50\right)\leq 0 ו- x-\left(-50\sqrt{201}-50\right)\geq 0.

$$x-\left(-50\sqrt{201}-50\right)\geq 0 x-\left(50\sqrt{201}-50\right)\leq 0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎x\in \left[-50\sqrt{201}-50,50\sqrt{201}-50\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-50\sqrt{201}-50,50\sqrt{201}-50\end{bmatrix}$$

הפתרון הסופי הוא האיחוד של הפתרונות שהתקבלו.

$$x\in \begin{bmatrix}-50\sqrt{201}-50,50\sqrt{201}-50\end{bmatrix}$$