פתור את 10z^2+21z+2

$$10 z ^ { 2 } + 21 z + 2$$

פרק לגורמים

$$\left(z+2\right)\left(10z+1\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 10z^{2}+az+bz+2. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=21 ab=10\times 2=20$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 20.

$$1,20 2,10 4,5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 21.

$$a=1 b=20$$

שכתב את ‎10z^{2}+21z+2 כ- ‎\left(10z^{2}+z\right)+\left(20z+2\right).

$$\left(10z^{2}+z\right)+\left(20z+2\right)$$

הוצא את הגורם המשותף z בקבוצה הראשונה ואת 2 בקבוצה השניה.

$$z\left(10z+1\right)+2\left(10z+1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 10z+1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(10z+1\right)\left(z+2\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$10z^{2}+21z+2=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$z=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

‎21 בריבוע.

$$z=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎10.

$$z=\frac{-21±\sqrt{441-40\times 2}}{2\times 10}$$

הכפל את ‎-40 ב- ‎2.

$$z=\frac{-21±\sqrt{441-80}}{2\times 10}$$

הוסף את ‎441 ל- ‎-80.

$$z=\frac{-21±\sqrt{361}}{2\times 10}$$

הוצא את השורש הריבועי של 361.

$$z=\frac{-21±19}{2\times 10}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎10.

$$z=\frac{-21±19}{20}$$

כעת פתור את המשוואה z=\frac{-21±19}{20} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-21 ל- ‎19.

$$z=-\frac{2}{20}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-2}{20} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$z=-\frac{1}{10}$$

כעת פתור את המשוואה z=\frac{-21±19}{20} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎19 מ- ‎-21.

$$z=-\frac{40}{20}$$

חלק את ‎-40 ב- ‎20.

$$z=-2$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-\frac{1}{10} במקום x_{1} וב- ‎-2 במקום x_{2}.

$$10z^{2}+21z+2=10\left(z-\left(-\frac{1}{10}\right)\right)\left(z-\left(-2\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$10z^{2}+21z+2=10\left(z+\frac{1}{10}\right)\left(z+2\right)$$

הוסף את ‎\frac{1}{10} ל- ‎z על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$10z^{2}+21z+2=10\times \frac{10z+1}{10}\left(z+2\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎10 ב- ‎10 ו- ‎10.

$$10z^{2}+21z+2=\left(10z+1\right)\left(z+2\right)$$

הערך

$$\left(z+2\right)\left(10z+1\right)$$