פתור את 10y^2+3y-4

$$10 y ^ { 2 } + 3 y - 4$$

פרק לגורמים

$$\left(2y-1\right)\left(5y+4\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 10y^{2}+ay+by-4. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=3 ab=10\left(-4\right)=-40$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -40.

$$-1,40 -2,20 -4,10 -5,8$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+40=39 -2+20=18 -4+10=6 -5+8=3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 3.

$$a=-5 b=8$$

שכתב את ‎10y^{2}+3y-4 כ- ‎\left(10y^{2}-5y\right)+\left(8y-4\right).

$$\left(10y^{2}-5y\right)+\left(8y-4\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 5y בקבוצה הראשונה ואת 4 בקבוצה השניה.

$$5y\left(2y-1\right)+4\left(2y-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2y-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2y-1\right)\left(5y+4\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$10y^{2}+3y-4=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$y=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 10\left(-4\right)}}{2\times 10}$$

‎3 בריבוע.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 10\left(-4\right)}}{2\times 10}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎10.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9-40\left(-4\right)}}{2\times 10}$$

הכפל את ‎-40 ב- ‎-4.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+160}}{2\times 10}$$

הוסף את ‎9 ל- ‎160.

$$y=\frac{-3±\sqrt{169}}{2\times 10}$$

הוצא את השורש הריבועי של 169.

$$y=\frac{-3±13}{2\times 10}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎10.

$$y=\frac{-3±13}{20}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{-3±13}{20} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-3 ל- ‎13.

$$y=\frac{10}{20}$$

צמצם את השבר ‎\frac{10}{20} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 10.

$$y=\frac{1}{2}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{-3±13}{20} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎13 מ- ‎-3.

$$y=-\frac{16}{20}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-16}{20} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$y=-\frac{4}{5}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{1}{2} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{4}{5} במקום x_{2}.

$$10y^{2}+3y-4=10\left(y-\frac{1}{2}\right)\left(y-\left(-\frac{4}{5}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$10y^{2}+3y-4=10\left(y-\frac{1}{2}\right)\left(y+\frac{4}{5}\right)$$

החסר את y מ- \frac{1}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$10y^{2}+3y-4=10\times \frac{2y-1}{2}\left(y+\frac{4}{5}\right)$$

הוסף את ‎\frac{4}{5} ל- ‎y על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$10y^{2}+3y-4=10\times \frac{2y-1}{2}\times \frac{5y+4}{5}$$

הכפל את ‎\frac{2y-1}{2} ב- ‎\frac{5y+4}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$10y^{2}+3y-4=10\times \frac{\left(2y-1\right)\left(5y+4\right)}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$10y^{2}+3y-4=10\times \frac{\left(2y-1\right)\left(5y+4\right)}{10}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎10 ב- ‎10 ו- ‎10.

$$10y^{2}+3y-4=\left(2y-1\right)\left(5y+4\right)$$

הערך

$$\left(2y-1\right)\left(5y+4\right)$$