פתור את 10x^2-15x+2=0

$$10 x ^ { 2 } - 15 x + 2 = 0$$

פתור עבור x

$$x=\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}\approx 1.352079729$$

$$x=-\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}\approx 0.147920271$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$10x^{2}-15x+2=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 10 במקום a, ב- -15 במקום b, וב- 2 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

‎-15 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎10.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-40\times 2}}{2\times 10}$$

הכפל את ‎-40 ב- ‎2.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-80}}{2\times 10}$$

הוסף את ‎225 ל- ‎-80.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{145}}{2\times 10}$$

ההופכי של ‎-15 הוא ‎15.

$$x=\frac{15±\sqrt{145}}{2\times 10}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎10.

$$x=\frac{15±\sqrt{145}}{20}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{15±\sqrt{145}}{20} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎15 ל- ‎\sqrt{145}.

$$x=\frac{\sqrt{145}+15}{20}$$

חלק את ‎15+\sqrt{145} ב- ‎20.

$$x=\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{15±\sqrt{145}}{20} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎\sqrt{145} מ- ‎15.

$$x=\frac{15-\sqrt{145}}{20}$$

חלק את ‎15-\sqrt{145} ב- ‎20.

$$x=-\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4} x=-\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}-15x+2=0$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$10x^{2}-15x+2-2=-2$$

החסרת 2 מעצמו נותנת 0.

$$10x^{2}-15x=-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$\frac{10x^{2}-15x}{10}=-\frac{2}{10}$$

חילוק ב- ‎10 מבטל את ההכפלה ב- ‎10.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{10}\right)x=-\frac{2}{10}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-15}{10} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 5.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{2}{10}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-2}{10} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{1}{5}$$

חלק את ‎-\frac{3}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{3}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{3}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{3}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{16}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{5} ל- ‎\frac{9}{16} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{29}{80}$$

פרק את ‎x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{29}{80}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{29}{80}}$$

פשט.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{145}}{20} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{145}}{20}$$

הוסף ‎\frac{3}{4} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4} x=-\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}$$