פתור את 10x^2+7x-12=0

$$10 x ^ { 2 } + 7 x - 12 = 0$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x=\frac{4}{5}=0.8$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 10x^{2}+ax+bx-12. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=7 ab=10\left(-12\right)=-120$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 7.

$$a=-8 b=15$$

שכתב את ‎10x^{2}+7x-12 כ- ‎\left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right).

$$\left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$2x\left(5x-4\right)+3\left(5x-4\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 5x-4 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(5x-4\right)\left(2x+3\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 5x-4=0 ו- 2x+3=0.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 10 במקום a, ב- 7 במקום b, וב- -12 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

‎7 בריבוע.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

הכפל את ‎-40 ב- ‎-12.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2\times 10}$$

הוסף את ‎49 ל- ‎480.

$$x=\frac{-7±\sqrt{529}}{2\times 10}$$

הוצא את השורש הריבועי של 529.

$$x=\frac{-7±23}{2\times 10}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎10.

$$x=\frac{-7±23}{20}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-7±23}{20} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-7 ל- ‎23.

$$x=\frac{16}{20}$$

צמצם את השבר ‎\frac{16}{20} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=\frac{4}{5}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-7±23}{20} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎23 מ- ‎-7.

$$x=-\frac{30}{20}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-30}{20} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 10.

$$x=-\frac{3}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

הוסף ‎12 לשני אגפי המשוואה.

$$10x^{2}+7x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

החסרת -12 מעצמו נותנת 0.

$$10x^{2}+7x=-\left(-12\right)$$

החסר ‎-12 מ- ‎0.

$$10x^{2}+7x=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$\frac{10x^{2}+7x}{10}=\frac{12}{10}$$

חילוק ב- ‎10 מבטל את ההכפלה ב- ‎10.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{12}{10}$$

צמצם את השבר ‎\frac{12}{10} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{6}{5}$$

חלק את ‎\frac{7}{10}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{7}{20}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{7}{20} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{6}{5}+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{7}{20} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{6}{5}+\frac{49}{400}$$

הוסף את ‎\frac{6}{5} ל- ‎\frac{49}{400} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{529}{400}$$

פרק x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{529}{400}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{400}}$$

פשט.

$$x+\frac{7}{20}=\frac{23}{20} x+\frac{7}{20}=-\frac{23}{20}$$

החסר ‎\frac{7}{20} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$