פתור את 10x^2+7x+1

$$10 x ^ { 2 } + 7 x + 1$$

פרק לגורמים

$$\left(2x+1\right)\left(5x+1\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 10x^{2}+ax+bx+1. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=7 ab=10\times 1=10$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 10.

$$1,10 2,5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+10=11 2+5=7$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 7.

$$a=2 b=5$$

שכתב את ‎10x^{2}+7x+1 כ- ‎\left(10x^{2}+2x\right)+\left(5x+1\right).

$$\left(10x^{2}+2x\right)+\left(5x+1\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x ב- 10x^{2}+2x.

$$2x\left(5x+1\right)+5x+1$$

הוצא את האיבר המשותף 5x+1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(5x+1\right)\left(2x+1\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$10x^{2}+7x+1=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 10}}{2\times 10}$$

‎7 בריבוע.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 10}}{2\times 10}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40}}{2\times 10}$$

הוסף את ‎49 ל- ‎-40.

$$x=\frac{-7±\sqrt{9}}{2\times 10}$$

הוצא את השורש הריבועי של 9.

$$x=\frac{-7±3}{2\times 10}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎10.

$$x=\frac{-7±3}{20}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-7±3}{20} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-7 ל- ‎3.

$$x=-\frac{4}{20}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-4}{20} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=-\frac{1}{5}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-7±3}{20} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎3 מ- ‎-7.

$$x=-\frac{10}{20}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-10}{20} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 10.

$$x=-\frac{1}{2}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-\frac{1}{5} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{1}{2} במקום x_{2}.

$$10x^{2}+7x+1=10\left(x-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$10x^{2}+7x+1=10\left(x+\frac{1}{5}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)$$

הוסף את ‎\frac{1}{5} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$10x^{2}+7x+1=10\times \frac{5x+1}{5}\left(x+\frac{1}{2}\right)$$

הוסף את ‎\frac{1}{2} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$10x^{2}+7x+1=10\times \frac{5x+1}{5}\times \frac{2x+1}{2}$$

הכפל את ‎\frac{5x+1}{5} ב- ‎\frac{2x+1}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$10x^{2}+7x+1=10\times \frac{\left(5x+1\right)\left(2x+1\right)}{5\times 2}$$

הכפל את ‎5 ב- ‎2.

$$10x^{2}+7x+1=10\times \frac{\left(5x+1\right)\left(2x+1\right)}{10}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎10 ב- ‎10 ו- ‎10.

$$10x^{2}+7x+1=\left(5x+1\right)\left(2x+1\right)$$

הערך

$$\left(2x+1\right)\left(5x+1\right)$$