פתור את 10p^2+9p+2

$$10 p ^ { 2 } + 9 p + 2$$

פרק לגורמים

$$\left(2p+1\right)\left(5p+2\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 10p^{2}+ap+bp+2. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=9 ab=10\times 2=20$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 20.

$$1,20 2,10 4,5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 9.

$$a=4 b=5$$

שכתב את ‎10p^{2}+9p+2 כ- ‎\left(10p^{2}+4p\right)+\left(5p+2\right).

$$\left(10p^{2}+4p\right)+\left(5p+2\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2p ב- 10p^{2}+4p.

$$2p\left(5p+2\right)+5p+2$$

הוצא את האיבר המשותף 5p+2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(5p+2\right)\left(2p+1\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$10p^{2}+9p+2=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$p=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

‎9 בריבוע.

$$p=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎10.

$$p=\frac{-9±\sqrt{81-40\times 2}}{2\times 10}$$

הכפל את ‎-40 ב- ‎2.

$$p=\frac{-9±\sqrt{81-80}}{2\times 10}$$

הוסף את ‎81 ל- ‎-80.

$$p=\frac{-9±\sqrt{1}}{2\times 10}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1.

$$p=\frac{-9±1}{2\times 10}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎10.

$$p=\frac{-9±1}{20}$$

כעת פתור את המשוואה p=\frac{-9±1}{20} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-9 ל- ‎1.

$$p=-\frac{8}{20}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-8}{20} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$p=-\frac{2}{5}$$

כעת פתור את המשוואה p=\frac{-9±1}{20} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎1 מ- ‎-9.

$$p=-\frac{10}{20}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-10}{20} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 10.

$$p=-\frac{1}{2}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-\frac{2}{5} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{1}{2} במקום x_{2}.

$$10p^{2}+9p+2=10\left(p-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(p-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$10p^{2}+9p+2=10\left(p+\frac{2}{5}\right)\left(p+\frac{1}{2}\right)$$

הוסף את ‎\frac{2}{5} ל- ‎p על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$10p^{2}+9p+2=10\times \frac{5p+2}{5}\left(p+\frac{1}{2}\right)$$

הוסף את ‎\frac{1}{2} ל- ‎p על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$10p^{2}+9p+2=10\times \frac{5p+2}{5}\times \frac{2p+1}{2}$$

הכפל את ‎\frac{5p+2}{5} ב- ‎\frac{2p+1}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$10p^{2}+9p+2=10\times \frac{\left(5p+2\right)\left(2p+1\right)}{5\times 2}$$

הכפל את ‎5 ב- ‎2.

$$10p^{2}+9p+2=10\times \frac{\left(5p+2\right)\left(2p+1\right)}{10}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎10 ב- ‎10 ו- ‎10.

$$10p^{2}+9p+2=\left(5p+2\right)\left(2p+1\right)$$

הערך

$$\left(2p+1\right)\left(5p+2\right)$$