פתור את 10k^2+9k-1=0

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

פתור עבור k

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0.1$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 10k^{2}+ak+bk-1. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -10.

$$-1,10 -2,5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 9.

$$a=-1 b=10$$

שכתב את ‎10k^{2}+9k-1 כ- ‎\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right).

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

הוצא את הגורם המשותף k ב- 10k^{2}-k.

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

הוצא את האיבר המשותף 10k-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 10k-1=0 ו- k+1=0.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 10 במקום a, ב- 9 במקום b, וב- -1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

‎9 בריבוע.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎10.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

הכפל את ‎-40 ב- ‎-1.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

הוסף את ‎81 ל- ‎40.

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

הוצא את השורש הריבועי של 121.

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎10.

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

כעת פתור את המשוואה k=\frac{-9±11}{20} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-9 ל- ‎11.

$$k=\frac{2}{20}$$

צמצם את השבר ‎\frac{2}{20} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$k=\frac{1}{10}$$

כעת פתור את המשוואה k=\frac{-9±11}{20} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎11 מ- ‎-9.

$$k=-\frac{20}{20}$$

חלק את ‎-20 ב- ‎20.

$$k=-1$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

החסרת -1 מעצמו נותנת 0.

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

החסר ‎-1 מ- ‎0.

$$10k^{2}+9k=1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

חילוק ב- ‎10 מבטל את ההכפלה ב- ‎10.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

חלק את ‎\frac{9}{10}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{9}{20}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{9}{20} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{9}{20} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

הוסף את ‎\frac{1}{10} ל- ‎\frac{81}{400} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

פרק k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

פשט.

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

החסר ‎\frac{9}{20} משני אגפי המשוואה.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$