פתור את 10a^2-13a-3

$$10 a ^ { 2 } - 13 a - 3$$

פרק לגורמים

$$\left(2a-3\right)\left(5a+1\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 10a^{2}+pa+qa-3. כדי למצוא את p ו- q, הגדר מערכת לפתרון.

$$p+q=-13 pq=10\left(-3\right)=-30$$

מאחר ש- pq הוא שלילי, ל- p ול- q יש סימנים הפוכים. מאחר ש- p+q הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -13.

$$p=-15 q=2$$

שכתב את ‎10a^{2}-13a-3 כ- ‎\left(10a^{2}-15a\right)+\left(2a-3\right).

$$\left(10a^{2}-15a\right)+\left(2a-3\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 5a ב- 10a^{2}-15a.

$$5a\left(2a-3\right)+2a-3$$

הוצא את האיבר המשותף 2a-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2a-3\right)\left(5a+1\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$10a^{2}-13a-3=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$a=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 10\left(-3\right)}}{2\times 10}$$

‎-13 בריבוע.

$$a=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 10\left(-3\right)}}{2\times 10}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎10.

$$a=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-40\left(-3\right)}}{2\times 10}$$

הכפל את ‎-40 ב- ‎-3.

$$a=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169+120}}{2\times 10}$$

הוסף את ‎169 ל- ‎120.

$$a=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{289}}{2\times 10}$$

הוצא את השורש הריבועי של 289.

$$a=\frac{-\left(-13\right)±17}{2\times 10}$$

ההופכי של ‎-13 הוא ‎13.

$$a=\frac{13±17}{2\times 10}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎10.

$$a=\frac{13±17}{20}$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{13±17}{20} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎13 ל- ‎17.

$$a=\frac{30}{20}$$

צמצם את השבר ‎\frac{30}{20} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 10.

$$a=\frac{3}{2}$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{13±17}{20} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎17 מ- ‎13.

$$a=-\frac{4}{20}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-4}{20} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$a=-\frac{1}{5}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{3}{2} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{1}{5} במקום x_{2}.

$$10a^{2}-13a-3=10\left(a-\frac{3}{2}\right)\left(a-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$10a^{2}-13a-3=10\left(a-\frac{3}{2}\right)\left(a+\frac{1}{5}\right)$$

החסר את a מ- \frac{3}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$10a^{2}-13a-3=10\times \frac{2a-3}{2}\left(a+\frac{1}{5}\right)$$

הוסף את ‎\frac{1}{5} ל- ‎a על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$10a^{2}-13a-3=10\times \frac{2a-3}{2}\times \frac{5a+1}{5}$$

הכפל את ‎\frac{2a-3}{2} ב- ‎\frac{5a+1}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$10a^{2}-13a-3=10\times \frac{\left(2a-3\right)\left(5a+1\right)}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$10a^{2}-13a-3=10\times \frac{\left(2a-3\right)\left(5a+1\right)}{10}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎10 ב- ‎10 ו- ‎10.

$$10a^{2}-13a-3=\left(2a-3\right)\left(5a+1\right)$$

הערך

$$\left(2a-3\right)\left(5a+1\right)$$