פתור את 0=5n^2+1205n-90300

$$0 = 5 n ^ { 2 } + 1205 n - 90300$$

פתור עבור n

$$n=-301$$

$$n=60$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$5n^{2}+1205n-90300=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$n^{2}+241n-18060=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- n^{2}+an+bn-18060. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=241 ab=1\left(-18060\right)=-18060$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -18060.

$$-1,18060 -2,9030 -3,6020 -4,4515 -5,3612 -6,3010 -7,2580 -10,1806 -12,1505 -14,1290 -15,1204 -20,903 -21,860 -28,645 -30,602 -35,516 -42,430 -43,420 -60,301 -70,258 -84,215 -86,210 -105,172 -129,140$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+18060=18059 -2+9030=9028 -3+6020=6017 -4+4515=4511 -5+3612=3607 -6+3010=3004 -7+2580=2573 -10+1806=1796 -12+1505=1493 -14+1290=1276 -15+1204=1189 -20+903=883 -21+860=839 -28+645=617 -30+602=572 -35+516=481 -42+430=388 -43+420=377 -60+301=241 -70+258=188 -84+215=131 -86+210=124 -105+172=67 -129+140=11$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 241.

$$a=-60 b=301$$

שכתב את ‎n^{2}+241n-18060 כ- ‎\left(n^{2}-60n\right)+\left(301n-18060\right).

$$\left(n^{2}-60n\right)+\left(301n-18060\right)$$

הוצא את הגורם המשותף n בקבוצה הראשונה ואת 301 בקבוצה השניה.

$$n\left(n-60\right)+301\left(n-60\right)$$

הוצא את האיבר המשותף n-60 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(n-60\right)\left(n+301\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את n-60=0 ו- n+301=0.

$$n=60 n=-301$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$5n^{2}+1205n-90300=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 5 במקום a, ב- 1205 במקום b, וב- -90300 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-1205±\sqrt{1205^{2}-4\times 5\left(-90300\right)}}{2\times 5}$$

‎1205 בריבוע.

$$n=\frac{-1205±\sqrt{1452025-4\times 5\left(-90300\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$n=\frac{-1205±\sqrt{1452025-20\left(-90300\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎-90300.

$$n=\frac{-1205±\sqrt{1452025+1806000}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎1452025 ל- ‎1806000.

$$n=\frac{-1205±\sqrt{3258025}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 3258025.

$$n=\frac{-1205±1805}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$n=\frac{-1205±1805}{10}$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{-1205±1805}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-1205 ל- ‎1805.

$$n=\frac{600}{10}$$

חלק את ‎600 ב- ‎10.

$$n=60$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{-1205±1805}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎1805 מ- ‎-1205.

$$n=-\frac{3010}{10}$$

חלק את ‎-3010 ב- ‎10.

$$n=-301$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$n=60 n=-301$$

שלבים להשלמת הריבוע

החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$5n^{2}+1205n-90300=0$$

הוסף ‎90300 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$5n^{2}+1205n=90300$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$\frac{5n^{2}+1205n}{5}=\frac{90300}{5}$$

חילוק ב- ‎5 מבטל את ההכפלה ב- ‎5.

$$n^{2}+\frac{1205}{5}n=\frac{90300}{5}$$

חלק את ‎1205 ב- ‎5.

$$n^{2}+241n=\frac{90300}{5}$$

חלק את ‎90300 ב- ‎5.

$$n^{2}+241n=18060$$

חלק את ‎241, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{241}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{241}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$n^{2}+241n+\left(\frac{241}{2}\right)^{2}=18060+\left(\frac{241}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{241}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$n^{2}+241n+\frac{58081}{4}=18060+\frac{58081}{4}$$

הוסף את ‎18060 ל- ‎\frac{58081}{4}.

$$n^{2}+241n+\frac{58081}{4}=\frac{130321}{4}$$

פרק n^{2}+241n+\frac{58081}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{241}{2}\right)^{2}=\frac{130321}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(n+\frac{241}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{130321}{4}}$$

פשט.

$$n+\frac{241}{2}=\frac{361}{2} n+\frac{241}{2}=-\frac{361}{2}$$

החסר ‎\frac{241}{2} משני אגפי המשוואה.

$$n=60 n=-301$$