פתור את -6x^2+16x-10=0

$$-6 { x }^{ 2 } +16x-10 = 0$$

פתור עבור x

$$x=1$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$-3x^{2}+8x-5=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- -3x^{2}+ax+bx-5. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=8 ab=-3\left(-5\right)=15$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 15.

$$1,15 3,5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+15=16 3+5=8$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 8.

$$a=5 b=3$$

שכתב את ‎-3x^{2}+8x-5 כ- ‎\left(-3x^{2}+5x\right)+\left(3x-5\right).

$$\left(-3x^{2}+5x\right)+\left(3x-5\right)$$

הוצא את הגורם המשותף -x ב- -3x^{2}+5x.

$$-x\left(3x-5\right)+3x-5$$

הוצא את האיבר המשותף 3x-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x-5\right)\left(-x+1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 3x-5=0 ו- -x+1=0.

$$x=\frac{5}{3} x=1$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-6x^{2}+16x-10=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -6 במקום a, ב- 16 במקום b, וב- -10 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-6\right)\left(-10\right)}}{2\left(-6\right)}$$

‎16 בריבוע.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-6\right)\left(-10\right)}}{2\left(-6\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-6.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+24\left(-10\right)}}{2\left(-6\right)}$$

הכפל את ‎24 ב- ‎-10.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-240}}{2\left(-6\right)}$$

הוסף את ‎256 ל- ‎-240.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16}}{2\left(-6\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 16.

$$x=\frac{-16±4}{2\left(-6\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-6.

$$x=\frac{-16±4}{-12}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-16±4}{-12} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-16 ל- ‎4.

$$x=-\frac{12}{-12}$$

חלק את ‎-12 ב- ‎-12.

$$x=1$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-16±4}{-12} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎4 מ- ‎-16.

$$x=-\frac{20}{-12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-20}{-12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=\frac{5}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=1 x=\frac{5}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-6x^{2}+16x-10=0$$

הוסף ‎10 לשני אגפי המשוואה.

$$-6x^{2}+16x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

החסרת -10 מעצמו נותנת 0.

$$-6x^{2}+16x=-\left(-10\right)$$

החסר ‎-10 מ- ‎0.

$$-6x^{2}+16x=10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$\frac{-6x^{2}+16x}{-6}=\frac{10}{-6}$$

חילוק ב- ‎-6 מבטל את ההכפלה ב- ‎-6.

$$x^{2}+\frac{16}{-6}x=\frac{10}{-6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{16}{-6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{10}{-6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{10}{-6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=-\frac{5}{3}$$

חלק את ‎-\frac{8}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{4}{3}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{4}{3} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{4}{3} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=-\frac{5}{3}+\frac{16}{9}$$

הוסף את ‎-\frac{5}{3} ל- ‎\frac{16}{9} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{1}{9}$$

פרק x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

פשט.

$$x-\frac{4}{3}=\frac{1}{3} x-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}$$

הוסף ‎\frac{4}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{5}{3} x=1$$