פתור את -4x^2-28x+49geq0

$$-4 { x }^{ 2 } -28x+49 \geq 0$$

פתור עבור x

$$x\in \begin{bmatrix}\frac{-7\sqrt{2}-7}{2},\frac{7\sqrt{2}-7}{2}\end{bmatrix}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

הכפל את אי-השוויון ב- ‎-1 כדי להפוך את המקדם של החזקה הגבוהה ביותר ב- ‎-4x^{2}-28x+49 לחיובי. מאחר -1 שלילי, כיוון אי-השוויון משתנה.

$$4x^{2}+28x-49\leq 0$$

כדי לפתור את אי-השוויון, פרק לגורמים את האגף השמאלי. ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}+28x-49=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎4 ב- a, את ‎28 ב- b ואת ‎-49 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 4\left(-49\right)}}{2\times 4}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{-28±28\sqrt{2}}{8}$$

פתור את המשוואה ‎x=\frac{-28±28\sqrt{2}}{8} כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=\frac{7\sqrt{2}-7}{2} x=\frac{-7\sqrt{2}-7}{2}$$

שכתב את אי-שוויון באמצעות הפתרונות שהתקבלו.

$$4\left(x-\frac{7\sqrt{2}-7}{2}\right)\left(x-\frac{-7\sqrt{2}-7}{2}\right)\leq 0$$

כדי שהמכפלה תהיה ≤0, אחד מהערכים ‎x-\frac{7\sqrt{2}-7}{2} ו- ‎x-\frac{-7\sqrt{2}-7}{2} צריך להיות ≥0 והשני צריך להיות ≤0. התבונן במקרה שבו x-\frac{7\sqrt{2}-7}{2}\geq 0 ו- x-\frac{-7\sqrt{2}-7}{2}\leq 0.

$$x-\frac{7\sqrt{2}-7}{2}\geq 0 x-\frac{-7\sqrt{2}-7}{2}\leq 0$$

זהו שקר עבור כל x.

$$x\in \emptyset$$

התבונן במקרה שבו x-\frac{7\sqrt{2}-7}{2}\leq 0 ו- x-\frac{-7\sqrt{2}-7}{2}\geq 0.

$$x-\frac{-7\sqrt{2}-7}{2}\geq 0 x-\frac{7\sqrt{2}-7}{2}\leq 0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎x\in \left[\frac{-7\sqrt{2}-7}{2},\frac{7\sqrt{2}-7}{2}\right].

$$x\in \begin{bmatrix}\frac{-7\sqrt{2}-7}{2},\frac{7\sqrt{2}-7}{2}\end{bmatrix}$$

הפתרון הסופי הוא האיחוד של הפתרונות שהתקבלו.

$$x\in \begin{bmatrix}\frac{-7\sqrt{2}-7}{2},\frac{7\sqrt{2}-7}{2}\end{bmatrix}$$