פתור את -4x^2-27x-18=0

$$-4 { x }^{ 2 } -27x-18 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$x=-6$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- -4x^{2}+ax+bx-18. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-27 ab=-4\left(-18\right)=72$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 72.

$$-1,-72 -2,-36 -3,-24 -4,-18 -6,-12 -8,-9$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-72=-73 -2-36=-38 -3-24=-27 -4-18=-22 -6-12=-18 -8-9=-17$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -27.

$$a=-3 b=-24$$

שכתב את ‎-4x^{2}-27x-18 כ- ‎\left(-4x^{2}-3x\right)+\left(-24x-18\right).

$$\left(-4x^{2}-3x\right)+\left(-24x-18\right)$$

הוצא את הגורם המשותף -x בקבוצה הראשונה ואת -6 בקבוצה השניה.

$$-x\left(4x+3\right)-6\left(4x+3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 4x+3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(4x+3\right)\left(-x-6\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 4x+3=0 ו- -x-6=0.

$$x=-\frac{3}{4} x=-6$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-4x^{2}-27x-18=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -4 במקום a, ב- -27 במקום b, וב- -18 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{\left(-27\right)^{2}-4\left(-4\right)\left(-18\right)}}{2\left(-4\right)}$$

‎-27 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-4\left(-4\right)\left(-18\right)}}{2\left(-4\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-4.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729+16\left(-18\right)}}{2\left(-4\right)}$$

הכפל את ‎16 ב- ‎-18.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-288}}{2\left(-4\right)}$$

הוסף את ‎729 ל- ‎-288.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{441}}{2\left(-4\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 441.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±21}{2\left(-4\right)}$$

ההופכי של ‎-27 הוא ‎27.

$$x=\frac{27±21}{2\left(-4\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-4.

$$x=\frac{27±21}{-8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{27±21}{-8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎27 ל- ‎21.

$$x=\frac{48}{-8}$$

חלק את ‎48 ב- ‎-8.

$$x=-6$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{27±21}{-8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎21 מ- ‎27.

$$x=\frac{6}{-8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{6}{-8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=-6 x=-\frac{3}{4}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}-27x-18=0$$

הוסף ‎18 לשני אגפי המשוואה.

$$-4x^{2}-27x-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

החסרת -18 מעצמו נותנת 0.

$$-4x^{2}-27x=-\left(-18\right)$$

החסר ‎-18 מ- ‎0.

$$-4x^{2}-27x=18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$\frac{-4x^{2}-27x}{-4}=\frac{18}{-4}$$

חילוק ב- ‎-4 מבטל את ההכפלה ב- ‎-4.

$$x^{2}+\left(-\frac{27}{-4}\right)x=\frac{18}{-4}$$

חלק את ‎-27 ב- ‎-4.

$$x^{2}+\frac{27}{4}x=\frac{18}{-4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{18}{-4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x^{2}+\frac{27}{4}x=-\frac{9}{2}$$

חלק את ‎\frac{27}{4}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{27}{8}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{27}{8} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{27}{4}x+\left(\frac{27}{8}\right)^{2}=-\frac{9}{2}+\left(\frac{27}{8}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{27}{8} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{27}{4}x+\frac{729}{64}=-\frac{9}{2}+\frac{729}{64}$$

הוסף את ‎-\frac{9}{2} ל- ‎\frac{729}{64} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{27}{4}x+\frac{729}{64}=\frac{441}{64}$$

פרק x^{2}+\frac{27}{4}x+\frac{729}{64} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{27}{8}\right)^{2}=\frac{441}{64}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{27}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{64}}$$

פשט.

$$x+\frac{27}{8}=\frac{21}{8} x+\frac{27}{8}=-\frac{21}{8}$$

החסר ‎\frac{27}{8} משני אגפי המשוואה.

$$x=-\frac{3}{4} x=-6$$