פתור את -4x^2+20x-47=0

$$-4 { x }^{ 2 } +20x-47=0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}\approx 2.5-2.34520788i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}\approx 2.5+2.34520788i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -4 במקום a, ב- 20 במקום b, וב- -47 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

‎20 בריבוע.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-4.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+16\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

הכפל את ‎16 ב- ‎-47.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-752}}{2\left(-4\right)}$$

הוסף את ‎400 ל- ‎-752.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-352}}{2\left(-4\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של -352.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{2\left(-4\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-4.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-20 ל- ‎4i\sqrt{22}.

$$x=\frac{-20+4\sqrt{22}i}{-8}$$

חלק את ‎-20+4i\sqrt{22} ב- ‎-8.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎4i\sqrt{22} מ- ‎-20.

$$x=\frac{-4\sqrt{22}i-20}{-8}$$

חלק את ‎-20-4i\sqrt{22} ב- ‎-8.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2} x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

הוסף ‎47 לשני אגפי המשוואה.

$$-4x^{2}+20x-47-\left(-47\right)=-\left(-47\right)$$

החסרת -47 מעצמו נותנת 0.

$$-4x^{2}+20x=-\left(-47\right)$$

החסר ‎-47 מ- ‎0.

$$-4x^{2}+20x=47$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$\frac{-4x^{2}+20x}{-4}=\frac{47}{-4}$$

חילוק ב- ‎-4 מבטל את ההכפלה ב- ‎-4.

$$x^{2}+\frac{20}{-4}x=\frac{47}{-4}$$

חלק את ‎20 ב- ‎-4.

$$x^{2}-5x=\frac{47}{-4}$$

חלק את ‎47 ב- ‎-4.

$$x^{2}-5x=-\frac{47}{4}$$

חלק את ‎-5, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{5}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{5}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{47}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{5}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{-47+25}{4}$$

הוסף את ‎-\frac{47}{4} ל- ‎\frac{25}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{11}{2}$$

פרק x^{2}-5x+\frac{25}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{2}}$$

פשט.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{22}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{22}i}{2}$$

הוסף ‎\frac{5}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2} x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$