פתור את -4x^2+16x+272>0

$$-4 { x }^{ 2 } +16x+272 > 0$$

פתור עבור x

$$x\in \left(2-6\sqrt{2},6\sqrt{2}+2\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

הכפל את אי-השוויון ב- ‎-1 כדי להפוך את המקדם של החזקה הגבוהה ביותר ב- ‎-4x^{2}+16x+272 לחיובי. מאחר -1 שלילי, כיוון אי-השוויון משתנה.

$$4x^{2}-16x-272<0$$

כדי לפתור את אי-השוויון, פרק לגורמים את האגף השמאלי. ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}-16x-272=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎4 ב- a, את ‎-16 ב- b ואת ‎-272 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\left(-272\right)}}{2\times 4}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{16±48\sqrt{2}}{8}$$

פתור את המשוואה ‎x=\frac{16±48\sqrt{2}}{8} כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=6\sqrt{2}+2 x=2-6\sqrt{2}$$

שכתב את אי-שוויון באמצעות הפתרונות שהתקבלו.

$$4\left(x-\left(6\sqrt{2}+2\right)\right)\left(x-\left(2-6\sqrt{2}\right)\right)<0$$

כדי שהמכפלה תהיה שלילית, הסימנים של ‎x-\left(6\sqrt{2}+2\right) ו- ‎x-\left(2-6\sqrt{2}\right) צריכים להיות מנוגדים. שקול את המקרה כאשר ‎x-\left(6\sqrt{2}+2\right) הוא חיובי ו- ‎x-\left(2-6\sqrt{2}\right) הוא שלילי.

$$x-\left(6\sqrt{2}+2\right)>0 x-\left(2-6\sqrt{2}\right)<0$$

זהו שקר עבור כל x.

$$x\in \emptyset$$

שקול את המקרה כאשר ‎x-\left(2-6\sqrt{2}\right) הוא חיובי ו- ‎x-\left(6\sqrt{2}+2\right) הוא שלילי.

$$x-\left(2-6\sqrt{2}\right)>0 x-\left(6\sqrt{2}+2\right)<0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎x\in \left(2-6\sqrt{2},6\sqrt{2}+2\right).

$$x\in \left(2-6\sqrt{2},6\sqrt{2}+2\right)$$

הפתרון הסופי הוא האיחוד של הפתרונות שהתקבלו.

$$x\in \left(2-6\sqrt{2},6\sqrt{2}+2\right)$$