פתור את -4a^2-3a+1=0

$$-4 { a }^{ 2 } -3a+1 = 0$$

פתור עבור a

$$a=\frac{1}{4}=0.25$$

$$a=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- -4a^{2}+aa+ba+1. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-3 ab=-4=-4$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -4.

$$1,-4 2,-2$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-4=-3 2-2=0$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -3.

$$a=1 b=-4$$

שכתב את ‎-4a^{2}-3a+1 כ- ‎\left(-4a^{2}+a\right)+\left(-4a+1\right).

$$\left(-4a^{2}+a\right)+\left(-4a+1\right)$$

הוצא את הגורם המשותף -a בקבוצה הראשונה ואת -1 בקבוצה השניה.

$$-a\left(4a-1\right)-\left(4a-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 4a-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(4a-1\right)\left(-a-1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 4a-1=0 ו- -a-1=0.

$$a=\frac{1}{4} a=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-4a^{2}-3a+1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -4 במקום a, ב- -3 במקום b, וב- 1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

‎-3 בריבוע.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-4.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+16}}{2\left(-4\right)}$$

הוסף את ‎9 ל- ‎16.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{25}}{2\left(-4\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 25.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±5}{2\left(-4\right)}$$

ההופכי של ‎-3 הוא ‎3.

$$a=\frac{3±5}{2\left(-4\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-4.

$$a=\frac{3±5}{-8}$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{3±5}{-8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎3 ל- ‎5.

$$a=\frac{8}{-8}$$

חלק את ‎8 ב- ‎-8.

$$a=-1$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{3±5}{-8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎5 מ- ‎3.

$$a=-\frac{2}{-8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-2}{-8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$a=\frac{1}{4}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$a=-1 a=\frac{1}{4}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-4a^{2}-3a+1=0$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$-4a^{2}-3a+1-1=-1$$

החסרת 1 מעצמו נותנת 0.

$$-4a^{2}-3a=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$\frac{-4a^{2}-3a}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

חילוק ב- ‎-4 מבטל את ההכפלה ב- ‎-4.

$$a^{2}+\left(-\frac{3}{-4}\right)a=-\frac{1}{-4}$$

חלק את ‎-3 ב- ‎-4.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a=-\frac{1}{-4}$$

חלק את ‎-1 ב- ‎-4.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a=\frac{1}{4}$$

חלק את ‎\frac{3}{4}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{3}{8}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{3}{8} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{3}{8} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a+\frac{9}{64}=\frac{1}{4}+\frac{9}{64}$$

הוסף את ‎\frac{1}{4} ל- ‎\frac{9}{64} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a+\frac{9}{64}=\frac{25}{64}$$

פרק a^{2}+\frac{3}{4}a+\frac{9}{64} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(a+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

פשט.

$$a+\frac{3}{8}=\frac{5}{8} a+\frac{3}{8}=-\frac{5}{8}$$

החסר ‎\frac{3}{8} משני אגפי המשוואה.

$$a=\frac{1}{4} a=-1$$