פתור את -16y^2+148y-252

$$-16 { y }^{ 2 } +148y-252$$

פרק לגורמים

$$4\left(7-y\right)\left(4y-9\right)$$

שלבי פתרון

הוצא את הגורם המשותף 4.

$$4\left(-4y^{2}+37y-63\right)$$

שקול את -4y^{2}+37y-63. פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- -4y^{2}+ay+by-63. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=37 ab=-4\left(-63\right)=252$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 252.

$$1,252 2,126 3,84 4,63 6,42 7,36 9,28 12,21 14,18$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+252=253 2+126=128 3+84=87 4+63=67 6+42=48 7+36=43 9+28=37 12+21=33 14+18=32$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 37.

$$a=28 b=9$$

שכתב את ‎-4y^{2}+37y-63 כ- ‎\left(-4y^{2}+28y\right)+\left(9y-63\right).

$$\left(-4y^{2}+28y\right)+\left(9y-63\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 4y בקבוצה הראשונה ואת -9 בקבוצה השניה.

$$4y\left(-y+7\right)-9\left(-y+7\right)$$

הוצא את האיבר המשותף -y+7 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(-y+7\right)\left(4y-9\right)$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים המלא.

$$4\left(-y+7\right)\left(4y-9\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$-16y^{2}+148y-252=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$y=\frac{-148±\sqrt{148^{2}-4\left(-16\right)\left(-252\right)}}{2\left(-16\right)}$$

‎148 בריבוע.

$$y=\frac{-148±\sqrt{21904-4\left(-16\right)\left(-252\right)}}{2\left(-16\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-16.

$$y=\frac{-148±\sqrt{21904+64\left(-252\right)}}{2\left(-16\right)}$$

הכפל את ‎64 ב- ‎-252.

$$y=\frac{-148±\sqrt{21904-16128}}{2\left(-16\right)}$$

הוסף את ‎21904 ל- ‎-16128.

$$y=\frac{-148±\sqrt{5776}}{2\left(-16\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 5776.

$$y=\frac{-148±76}{2\left(-16\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-16.

$$y=\frac{-148±76}{-32}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{-148±76}{-32} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-148 ל- ‎76.

$$y=-\frac{72}{-32}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-72}{-32} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 8.

$$y=\frac{9}{4}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{-148±76}{-32} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎76 מ- ‎-148.

$$y=-\frac{224}{-32}$$

חלק את ‎-224 ב- ‎-32.

$$y=7$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{9}{4} במקום x_{1} וב- ‎7 במקום x_{2}.

$$-16y^{2}+148y-252=-16\left(y-\frac{9}{4}\right)\left(y-7\right)$$

החסר את y מ- \frac{9}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$-16y^{2}+148y-252=-16\times \frac{-4y+9}{-4}\left(y-7\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎4 ב- ‎-16 ו- ‎4.

$$-16y^{2}+148y-252=4\left(-4y+9\right)\left(y-7\right)$$

הערך

$$-16y^{2}+148y-252$$