פתור את -144x^2+9x-9=0

$$-144 { x }^{ 2 } +9x-9 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32}\approx 0.03125+0.248039185i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32}\approx 0.03125-0.248039185i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-144x^{2}+9x-9=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -144 במקום a, ב- 9 במקום b, וב- -9 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-144\right)\left(-9\right)}}{2\left(-144\right)}$$

‎9 בריבוע.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-144\right)\left(-9\right)}}{2\left(-144\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-144.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+576\left(-9\right)}}{2\left(-144\right)}$$

הכפל את ‎576 ב- ‎-9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-5184}}{2\left(-144\right)}$$

הוסף את ‎81 ל- ‎-5184.

$$x=\frac{-9±\sqrt{-5103}}{2\left(-144\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של -5103.

$$x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{2\left(-144\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-144.

$$x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{-288}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{-288} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-9 ל- ‎27i\sqrt{7}.

$$x=\frac{-9+27\sqrt{7}i}{-288}$$

חלק את ‎-9+27i\sqrt{7} ב- ‎-288.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{-288} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎27i\sqrt{7} מ- ‎-9.

$$x=\frac{-27\sqrt{7}i-9}{-288}$$

חלק את ‎-9-27i\sqrt{7} ב- ‎-288.

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32} x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-144x^{2}+9x-9=0$$

הוסף ‎9 לשני אגפי המשוואה.

$$-144x^{2}+9x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

החסרת -9 מעצמו נותנת 0.

$$-144x^{2}+9x=-\left(-9\right)$$

החסר ‎-9 מ- ‎0.

$$-144x^{2}+9x=9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-144.

$$\frac{-144x^{2}+9x}{-144}=\frac{9}{-144}$$

חילוק ב- ‎-144 מבטל את ההכפלה ב- ‎-144.

$$x^{2}+\frac{9}{-144}x=\frac{9}{-144}$$

צמצם את השבר ‎\frac{9}{-144} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 9.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x=\frac{9}{-144}$$

צמצם את השבר ‎\frac{9}{-144} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 9.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x=-\frac{1}{16}$$

חלק את ‎-\frac{1}{16}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{32}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{32} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x+\left(-\frac{1}{32}\right)^{2}=-\frac{1}{16}+\left(-\frac{1}{32}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{32} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x+\frac{1}{1024}=-\frac{1}{16}+\frac{1}{1024}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{16} ל- ‎\frac{1}{1024} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x+\frac{1}{1024}=-\frac{63}{1024}$$

פרק x^{2}-\frac{1}{16}x+\frac{1}{1024} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{32}\right)^{2}=-\frac{63}{1024}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{32}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{63}{1024}}$$

פשט.

$$x-\frac{1}{32}=\frac{3\sqrt{7}i}{32} x-\frac{1}{32}=-\frac{3\sqrt{7}i}{32}$$

הוסף ‎\frac{1}{32} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32} x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32}$$