פתור את -y^2-8y-7=0

$$- y ^ { 2 } - 8 y - 7 = 0$$

פתור עבור y

$$y=-7$$

$$y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- -y^{2}+ay+by-7. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-8 ab=-\left(-7\right)=7$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. הצמד היחיד מסוג זה הוא פתרון המערכת.

$$a=-1 b=-7$$

שכתב את ‎-y^{2}-8y-7 כ- ‎\left(-y^{2}-y\right)+\left(-7y-7\right).

$$\left(-y^{2}-y\right)+\left(-7y-7\right)$$

הוצא את הגורם המשותף y בקבוצה הראשונה ואת 7 בקבוצה השניה.

$$y\left(-y-1\right)+7\left(-y-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף -y-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(-y-1\right)\left(y+7\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את -y-1=0 ו- y+7=0.

$$y=-1 y=-7$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-y^{2}-8y-7=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -1 במקום a, ב- -8 במקום b, וב- -7 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

‎-8 בריבוע.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-1\right)\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-1.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+4\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-7.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-28}}{2\left(-1\right)}$$

הוסף את ‎64 ל- ‎-28.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{36}}{2\left(-1\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 36.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±6}{2\left(-1\right)}$$

ההופכי של ‎-8 הוא ‎8.

$$y=\frac{8±6}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-1.

$$y=\frac{8±6}{-2}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{8±6}{-2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎8 ל- ‎6.

$$y=\frac{14}{-2}$$

חלק את ‎14 ב- ‎-2.

$$y=-7$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{8±6}{-2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎6 מ- ‎8.

$$y=\frac{2}{-2}$$

חלק את ‎2 ב- ‎-2.

$$y=-1$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$y=-7 y=-1$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-y^{2}-8y-7=0$$

הוסף ‎7 לשני אגפי המשוואה.

$$-y^{2}-8y-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

החסרת -7 מעצמו נותנת 0.

$$-y^{2}-8y=-\left(-7\right)$$

החסר ‎-7 מ- ‎0.

$$-y^{2}-8y=7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$\frac{-y^{2}-8y}{-1}=\frac{7}{-1}$$

חילוק ב- ‎-1 מבטל את ההכפלה ב- ‎-1.

$$y^{2}+\left(-\frac{8}{-1}\right)y=\frac{7}{-1}$$

חלק את ‎-8 ב- ‎-1.

$$y^{2}+8y=\frac{7}{-1}$$

חלק את ‎7 ב- ‎-1.

$$y^{2}+8y=-7$$

חלק את ‎8, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎4. לאחר מכן הוסף את הריבוע של 4 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$y^{2}+8y+4^{2}=-7+4^{2}$$

‎4 בריבוע.

$$y^{2}+8y+16=-7+16$$

הוסף את ‎-7 ל- ‎16.

$$y^{2}+8y+16=9$$

פרק y^{2}+8y+16 לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+4\right)^{2}=9$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(y+4\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

פשט.

$$y+4=3 y+4=-3$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$y=-1 y=-7$$