פתור את -x^2-x-1=0

$$- x ^ { 2 } - x - 1 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0.5-0.866025404i$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0.5+0.866025404i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-x^{2}-x-1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -1 במקום a, ב- -1 במקום b, וב- -1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4}}{2\left(-1\right)}$$

הוסף את ‎1 ל- ‎-4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-3}}{2\left(-1\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של -3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

ההופכי של ‎-1 הוא ‎1.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-1.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎1 ל- ‎i\sqrt{3}.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{-2}$$

חלק את ‎1+i\sqrt{3} ב- ‎-2.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎i\sqrt{3} מ- ‎1.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{-2}$$

חלק את ‎1-i\sqrt{3} ב- ‎-2.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-x-1=0$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$-x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

החסרת -1 מעצמו נותנת 0.

$$-x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

החסר ‎-1 מ- ‎0.

$$-x^{2}-x=1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=\frac{1}{-1}$$

חילוק ב- ‎-1 מבטל את ההכפלה ב- ‎-1.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=\frac{1}{-1}$$

חלק את ‎-1 ב- ‎-1.

$$x^{2}+x=\frac{1}{-1}$$

חלק את ‎1 ב- ‎-1.

$$x^{2}+x=-1$$

חלק את ‎1, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{1}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{1}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

הוסף את ‎-1 ל- ‎\frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

פרק את ‎x^{2}+x+\frac{1}{4} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

פשט.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

החסר ‎\frac{1}{2} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$