פתור את -x^2+2x+15=0

$$- x ^ { 2 } + 2 x + 15 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-3$$

$$x=5$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- -x^{2}+ax+bx+15. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=2 ab=-15=-15$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -15.

$$-1,15 -3,5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 2.

$$a=5 b=-3$$

שכתב את ‎-x^{2}+2x+15 כ- ‎\left(-x^{2}+5x\right)+\left(-3x+15\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(-3x+15\right)$$

הוצא את הגורם המשותף -x בקבוצה הראשונה ואת -3 בקבוצה השניה.

$$-x\left(x-5\right)-3\left(x-5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-5\right)\left(-x-3\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-5=0 ו- -x-3=0.

$$x=5 x=-3$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-x^{2}+2x+15=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -1 במקום a, ב- 2 במקום b, וב- 15 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

‎2 בריבוע.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎4 ב- ‎15.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+60}}{2\left(-1\right)}$$

הוסף את ‎4 ל- ‎60.

$$x=\frac{-2±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 64.

$$x=\frac{-2±8}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-2±8}{-2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-2±8}{-2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-2 ל- ‎8.

$$x=\frac{6}{-2}$$

חלק את ‎6 ב- ‎-2.

$$x=-3$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-2±8}{-2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎8 מ- ‎-2.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

חלק את ‎-10 ב- ‎-2.

$$x=5$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=-3 x=5$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+2x+15=0$$

החסר ‎15 משני אגפי המשוואה.

$$-x^{2}+2x+15-15=-15$$

החסרת 15 מעצמו נותנת 0.

$$-x^{2}+2x=-15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=-\frac{15}{-1}$$

חילוק ב- ‎-1 מבטל את ההכפלה ב- ‎-1.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=-\frac{15}{-1}$$

חלק את ‎2 ב- ‎-1.

$$x^{2}-2x=-\frac{15}{-1}$$

חלק את ‎-15 ב- ‎-1.

$$x^{2}-2x=15$$

חלק את ‎-2, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-1. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -1 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-2x+1=15+1$$

הוסף את ‎15 ל- ‎1.

$$x^{2}-2x+1=16$$

פרק x^{2}-2x+1 לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=16$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

פשט.

$$x-1=4 x-1=-4$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$x=5 x=-3$$