פתור את -8r^2+26r-15

$$- 8 r ^ { 2 } + 26 r - 15$$

פרק לגורמים

$$\left(3-4r\right)\left(2r-5\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- -8r^{2}+ar+br-15. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=26 ab=-8\left(-15\right)=120$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 120.

$$1,120 2,60 3,40 4,30 5,24 6,20 8,15 10,12$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+120=121 2+60=62 3+40=43 4+30=34 5+24=29 6+20=26 8+15=23 10+12=22$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 26.

$$a=20 b=6$$

שכתב את ‎-8r^{2}+26r-15 כ- ‎\left(-8r^{2}+20r\right)+\left(6r-15\right).

$$\left(-8r^{2}+20r\right)+\left(6r-15\right)$$

הוצא את הגורם המשותף -4r בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$-4r\left(2r-5\right)+3\left(2r-5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2r-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2r-5\right)\left(-4r+3\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$-8r^{2}+26r-15=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$r=\frac{-26±\sqrt{26^{2}-4\left(-8\right)\left(-15\right)}}{2\left(-8\right)}$$

‎26 בריבוע.

$$r=\frac{-26±\sqrt{676-4\left(-8\right)\left(-15\right)}}{2\left(-8\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-8.

$$r=\frac{-26±\sqrt{676+32\left(-15\right)}}{2\left(-8\right)}$$

הכפל את ‎32 ב- ‎-15.

$$r=\frac{-26±\sqrt{676-480}}{2\left(-8\right)}$$

הוסף את ‎676 ל- ‎-480.

$$r=\frac{-26±\sqrt{196}}{2\left(-8\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 196.

$$r=\frac{-26±14}{2\left(-8\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-8.

$$r=\frac{-26±14}{-16}$$

כעת פתור את המשוואה r=\frac{-26±14}{-16} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-26 ל- ‎14.

$$r=-\frac{12}{-16}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-12}{-16} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$r=\frac{3}{4}$$

כעת פתור את המשוואה r=\frac{-26±14}{-16} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎14 מ- ‎-26.

$$r=-\frac{40}{-16}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-40}{-16} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 8.

$$r=\frac{5}{2}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{3}{4} במקום x_{1} וב- ‎\frac{5}{2} במקום x_{2}.

$$-8r^{2}+26r-15=-8\left(r-\frac{3}{4}\right)\left(r-\frac{5}{2}\right)$$

החסר את r מ- \frac{3}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$-8r^{2}+26r-15=-8\times \frac{-4r+3}{-4}\left(r-\frac{5}{2}\right)$$

החסר את r מ- \frac{5}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$-8r^{2}+26r-15=-8\times \frac{-4r+3}{-4}\times \frac{-2r+5}{-2}$$

הכפל את ‎\frac{-4r+3}{-4} ב- ‎\frac{-2r+5}{-2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$-8r^{2}+26r-15=-8\times \frac{\left(-4r+3\right)\left(-2r+5\right)}{-4\left(-2\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-2.

$$-8r^{2}+26r-15=-8\times \frac{\left(-4r+3\right)\left(-2r+5\right)}{8}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎8 ב- ‎-8 ו- ‎8.

$$-8r^{2}+26r-15=-\left(-4r+3\right)\left(-2r+5\right)$$

הערך

$$\left(3-4r\right)\left(2r-5\right)$$