פתור את -5x^2+8x=9

$$- 5 x ^ { 2 } + 8 x = 9$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{29}i+4}{5}\approx 0.8-1.077032961i$$

$$x=\frac{4+\sqrt{29}i}{5}\approx 0.8+1.077032961i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-5x^{2}+8x=9$$

החסר ‎9 משני אגפי המשוואה.

$$-5x^{2}+8x-9=9-9$$

החסרת 9 מעצמו נותנת 0.

$$-5x^{2}+8x-9=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -5 במקום a, ב- 8 במקום b, וב- -9 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-5\right)\left(-9\right)}}{2\left(-5\right)}$$

‎8 בריבוע.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-5\right)\left(-9\right)}}{2\left(-5\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-5.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+20\left(-9\right)}}{2\left(-5\right)}$$

הכפל את ‎20 ב- ‎-9.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-180}}{2\left(-5\right)}$$

הוסף את ‎64 ל- ‎-180.

$$x=\frac{-8±\sqrt{-116}}{2\left(-5\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של -116.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{29}i}{2\left(-5\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-5.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{29}i}{-10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-8±2\sqrt{29}i}{-10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-8 ל- ‎2i\sqrt{29}.

$$x=\frac{-8+2\sqrt{29}i}{-10}$$

חלק את ‎-8+2i\sqrt{29} ב- ‎-10.

$$x=\frac{-\sqrt{29}i+4}{5}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-8±2\sqrt{29}i}{-10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2i\sqrt{29} מ- ‎-8.

$$x=\frac{-2\sqrt{29}i-8}{-10}$$

חלק את ‎-8-2i\sqrt{29} ב- ‎-10.

$$x=\frac{4+\sqrt{29}i}{5}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{-\sqrt{29}i+4}{5} x=\frac{4+\sqrt{29}i}{5}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+8x=9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$\frac{-5x^{2}+8x}{-5}=\frac{9}{-5}$$

חילוק ב- ‎-5 מבטל את ההכפלה ב- ‎-5.

$$x^{2}+\frac{8}{-5}x=\frac{9}{-5}$$

חלק את ‎8 ב- ‎-5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=\frac{9}{-5}$$

חלק את ‎9 ב- ‎-5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=-\frac{9}{5}$$

חלק את ‎-\frac{8}{5}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{4}{5}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{4}{5} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{9}{5}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{4}{5} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=-\frac{9}{5}+\frac{16}{25}$$

הוסף את ‎-\frac{9}{5} ל- ‎\frac{16}{25} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=-\frac{29}{25}$$

פרק x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{29}{25}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{29}{25}}$$

פשט.

$$x-\frac{4}{5}=\frac{\sqrt{29}i}{5} x-\frac{4}{5}=-\frac{\sqrt{29}i}{5}$$

הוסף ‎\frac{4}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{4+\sqrt{29}i}{5} x=\frac{-\sqrt{29}i+4}{5}$$