פתור את -4b^2+22b-4=0

$$- 4 b ^ { 2 } + 22 b - 4 = 0$$

פתור עבור b

$$b = \frac{\sqrt{105} + 11}{4} \approx 5.311737691$$

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}\approx 0.188262309$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-4b^{2}+22b-4=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -4 במקום a, ב- 22 במקום b, וב- -4 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

‎22 בריבוע.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-4.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484+16\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

הכפל את ‎16 ב- ‎-4.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484-64}}{2\left(-4\right)}$$

הוסף את ‎484 ל- ‎-64.

$$b=\frac{-22±\sqrt{420}}{2\left(-4\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 420.

$$b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{2\left(-4\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-4.

$$b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8}$$

כעת פתור את המשוואה b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-22 ל- ‎2\sqrt{105}.

$$b=\frac{2\sqrt{105}-22}{-8}$$

חלק את ‎-22+2\sqrt{105} ב- ‎-8.

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}$$

כעת פתור את המשוואה b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2\sqrt{105} מ- ‎-22.

$$b=\frac{-2\sqrt{105}-22}{-8}$$

חלק את ‎-22-2\sqrt{105} ב- ‎-8.

$$b=\frac{\sqrt{105}+11}{4}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4} b=\frac{\sqrt{105}+11}{4}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-4b^{2}+22b-4=0$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$-4b^{2}+22b-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

החסרת -4 מעצמו נותנת 0.

$$-4b^{2}+22b=-\left(-4\right)$$

החסר ‎-4 מ- ‎0.

$$-4b^{2}+22b=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$\frac{-4b^{2}+22b}{-4}=\frac{4}{-4}$$

חילוק ב- ‎-4 מבטל את ההכפלה ב- ‎-4.

$$b^{2}+\frac{22}{-4}b=\frac{4}{-4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{22}{-4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b=\frac{4}{-4}$$

חלק את ‎4 ב- ‎-4.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b=-1$$

חלק את ‎-\frac{11}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{11}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{11}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{11}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}=-1+\frac{121}{16}$$

הוסף את ‎-1 ל- ‎\frac{121}{16}.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}=\frac{105}{16}$$

פרק b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(b-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{105}{16}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(b-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{105}{16}}$$

פשט.

$$b-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{105}}{4} b-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{105}}{4}$$

הוסף ‎\frac{11}{4} לשני אגפי המשוואה.

$$b=\frac{\sqrt{105}+11}{4} b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}$$