פתור את -4a^2-5a+1=0

$$- 4 a ^ { 2 } - 5 a + 1 = 0$$

פתור עבור a

$$a=\frac{\sqrt{41}-5}{8}\approx 0.17539053$$

$$a=\frac{-\sqrt{41}-5}{8}\approx -1.42539053$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-4a^{2}-5a+1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -4 במקום a, ב- -5 במקום b, וב- 1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

‎-5 בריבוע.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-4.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+16}}{2\left(-4\right)}$$

הוסף את ‎25 ל- ‎16.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{41}}{2\left(-4\right)}$$

ההופכי של ‎-5 הוא ‎5.

$$a=\frac{5±\sqrt{41}}{2\left(-4\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-4.

$$a=\frac{5±\sqrt{41}}{-8}$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{5±\sqrt{41}}{-8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎5 ל- ‎\sqrt{41}.

$$a=\frac{\sqrt{41}+5}{-8}$$

חלק את ‎5+\sqrt{41} ב- ‎-8.

$$a=\frac{-\sqrt{41}-5}{8}$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{5±\sqrt{41}}{-8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎\sqrt{41} מ- ‎5.

$$a=\frac{5-\sqrt{41}}{-8}$$

חלק את ‎5-\sqrt{41} ב- ‎-8.

$$a=\frac{\sqrt{41}-5}{8}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$a=\frac{-\sqrt{41}-5}{8} a=\frac{\sqrt{41}-5}{8}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-4a^{2}-5a+1=0$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$-4a^{2}-5a+1-1=-1$$

החסרת 1 מעצמו נותנת 0.

$$-4a^{2}-5a=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$\frac{-4a^{2}-5a}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

חילוק ב- ‎-4 מבטל את ההכפלה ב- ‎-4.

$$a^{2}+\left(-\frac{5}{-4}\right)a=-\frac{1}{-4}$$

חלק את ‎-5 ב- ‎-4.

$$a^{2}+\frac{5}{4}a=-\frac{1}{-4}$$

חלק את ‎-1 ב- ‎-4.

$$a^{2}+\frac{5}{4}a=\frac{1}{4}$$

חלק את ‎\frac{5}{4}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{5}{8}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{5}{8} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$a^{2}+\frac{5}{4}a+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{5}{8} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$a^{2}+\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

הוסף את ‎\frac{1}{4} ל- ‎\frac{25}{64} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$a^{2}+\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=\frac{41}{64}$$

פרק a^{2}+\frac{5}{4}a+\frac{25}{64} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{41}{64}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(a+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{64}}$$

פשט.

$$a+\frac{5}{8}=\frac{\sqrt{41}}{8} a+\frac{5}{8}=-\frac{\sqrt{41}}{8}$$

החסר ‎\frac{5}{8} משני אגפי המשוואה.

$$a=\frac{\sqrt{41}-5}{8} a=\frac{-\sqrt{41}-5}{8}$$