פתור את -3x^2+5x-4=0

$$- 3 x ^ { 2 } + 5 x - 4 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}\approx 0.833333333-0.799305254i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}\approx 0.833333333+0.799305254i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-3x^{2}+5x-4=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -3 במקום a, ב- 5 במקום b, וב- -4 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-3\right)\left(-4\right)}}{2\left(-3\right)}$$

‎5 בריבוע.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-3\right)\left(-4\right)}}{2\left(-3\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+12\left(-4\right)}}{2\left(-3\right)}$$

הכפל את ‎12 ב- ‎-4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-48}}{2\left(-3\right)}$$

הוסף את ‎25 ל- ‎-48.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-23}}{2\left(-3\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של -23.

$$x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{2\left(-3\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{-6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{-6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-5 ל- ‎i\sqrt{23}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{23}i}{-6}$$

חלק את ‎-5+i\sqrt{23} ב- ‎-6.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{-6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎i\sqrt{23} מ- ‎-5.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-5}{-6}$$

חלק את ‎-5-i\sqrt{23} ב- ‎-6.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6} x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+5x-4=0$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$-3x^{2}+5x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

החסרת -4 מעצמו נותנת 0.

$$-3x^{2}+5x=-\left(-4\right)$$

החסר ‎-4 מ- ‎0.

$$-3x^{2}+5x=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$\frac{-3x^{2}+5x}{-3}=\frac{4}{-3}$$

חילוק ב- ‎-3 מבטל את ההכפלה ב- ‎-3.

$$x^{2}+\frac{5}{-3}x=\frac{4}{-3}$$

חלק את ‎5 ב- ‎-3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{4}{-3}$$

חלק את ‎4 ב- ‎-3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{4}{3}$$

חלק את ‎-\frac{5}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{5}{6}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{5}{6} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{5}{6} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{4}{3}+\frac{25}{36}$$

הוסף את ‎-\frac{4}{3} ל- ‎\frac{25}{36} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{23}{36}$$

פרק x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{23}{36}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{36}}$$

פשט.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{23}i}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{23}i}{6}$$

הוסף ‎\frac{5}{6} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6} x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}$$