פתור את -3x^2+5x-1=0

$$- 3 x ^ { 2 } + 5 x - 1 = 0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{\sqrt{13} + 5}{6} \approx 1.434258546$$

$$x=\frac{5-\sqrt{13}}{6}\approx 0.232408121$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-3x^{2}+5x-1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -3 במקום a, ב- 5 במקום b, וב- -1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

‎5 בריבוע.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+12\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

הכפל את ‎12 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12}}{2\left(-3\right)}$$

הוסף את ‎25 ל- ‎-12.

$$x=\frac{-5±\sqrt{13}}{2\left(-3\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{13}}{-6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-5±\sqrt{13}}{-6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-5 ל- ‎\sqrt{13}.

$$x=\frac{\sqrt{13}-5}{-6}$$

חלק את ‎-5+\sqrt{13} ב- ‎-6.

$$x=\frac{5-\sqrt{13}}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-5±\sqrt{13}}{-6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎\sqrt{13} מ- ‎-5.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-5}{-6}$$

חלק את ‎-5-\sqrt{13} ב- ‎-6.

$$x=\frac{\sqrt{13}+5}{6}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{5-\sqrt{13}}{6} x=\frac{\sqrt{13}+5}{6}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+5x-1=0$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$-3x^{2}+5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

החסרת -1 מעצמו נותנת 0.

$$-3x^{2}+5x=-\left(-1\right)$$

החסר ‎-1 מ- ‎0.

$$-3x^{2}+5x=1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$\frac{-3x^{2}+5x}{-3}=\frac{1}{-3}$$

חילוק ב- ‎-3 מבטל את ההכפלה ב- ‎-3.

$$x^{2}+\frac{5}{-3}x=\frac{1}{-3}$$

חלק את ‎5 ב- ‎-3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{1}{-3}$$

חלק את ‎1 ב- ‎-3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{1}{3}$$

חלק את ‎-\frac{5}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{5}{6}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{5}{6} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{5}{6} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{1}{3}+\frac{25}{36}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{3} ל- ‎\frac{25}{36} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{13}{36}$$

פרק x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

פשט.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

הוסף ‎\frac{5}{6} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{13}+5}{6} x=\frac{5-\sqrt{13}}{6}$$