פתור את -3x^2+5x+2geq0

$$- 3 x ^ { 2 } + 5 x + 2 \geq 0$$

פתור עבור x

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

הכפל את אי-השוויון ב- ‎-1 כדי להפוך את המקדם של החזקה הגבוהה ביותר ב- ‎-3x^{2}+5x+2 לחיובי. מאחר -1 שלילי, כיוון אי-השוויון משתנה.

$$3x^{2}-5x-2\leq 0$$

כדי לפתור את אי-השוויון, פרק לגורמים את האגף השמאלי. ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}-5x-2=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎3 ב- a, את ‎-5 ב- b ואת ‎-2 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{5±7}{6}$$

פתור את המשוואה ‎x=\frac{5±7}{6} כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=2 x=-\frac{1}{3}$$

שכתב את אי-שוויון באמצעות הפתרונות שהתקבלו.

$$3\left(x-2\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)\leq 0$$

כדי שהמכפלה תהיה ≤0, אחד מהערכים ‎x-2 ו- ‎x+\frac{1}{3} צריך להיות ≥0 והשני צריך להיות ≤0. התבונן במקרה שבו x-2\geq 0 ו- x+\frac{1}{3}\leq 0.

$$x-2\geq 0 x+\frac{1}{3}\leq 0$$

זהו שקר עבור כל x.

$$x\in \emptyset$$

התבונן במקרה שבו x-2\leq 0 ו- x+\frac{1}{3}\geq 0.

$$x+\frac{1}{3}\geq 0 x-2\leq 0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎x\in \left[-\frac{1}{3},2\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$

הפתרון הסופי הוא האיחוד של הפתרונות שהתקבלו.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$