פתור את -3x^2+17x-20=

$$- 3 x ^ { 2 } + 17 x - 20 =$$

פרק לגורמים

$$\left(4-x\right)\left(3x-5\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- -3x^{2}+ax+bx-20. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=17 ab=-3\left(-20\right)=60$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 17.

$$a=12 b=5$$

שכתב את ‎-3x^{2}+17x-20 כ- ‎\left(-3x^{2}+12x\right)+\left(5x-20\right).

$$\left(-3x^{2}+12x\right)+\left(5x-20\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x בקבוצה הראשונה ואת -5 בקבוצה השניה.

$$3x\left(-x+4\right)-5\left(-x+4\right)$$

הוצא את האיבר המשותף -x+4 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(-x+4\right)\left(3x-5\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$-3x^{2}+17x-20=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\left(-3\right)\left(-20\right)}}{2\left(-3\right)}$$

‎17 בריבוע.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\left(-3\right)\left(-20\right)}}{2\left(-3\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-3.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289+12\left(-20\right)}}{2\left(-3\right)}$$

הכפל את ‎12 ב- ‎-20.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-240}}{2\left(-3\right)}$$

הוסף את ‎289 ל- ‎-240.

$$x=\frac{-17±\sqrt{49}}{2\left(-3\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 49.

$$x=\frac{-17±7}{2\left(-3\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-3.

$$x=\frac{-17±7}{-6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-17±7}{-6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-17 ל- ‎7.

$$x=-\frac{10}{-6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-10}{-6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=\frac{5}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-17±7}{-6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎7 מ- ‎-17.

$$x=-\frac{24}{-6}$$

חלק את ‎-24 ב- ‎-6.

$$x=4$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{5}{3} במקום x_{1} וב- ‎4 במקום x_{2}.

$$-3x^{2}+17x-20=-3\left(x-\frac{5}{3}\right)\left(x-4\right)$$

החסר את x מ- \frac{5}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$-3x^{2}+17x-20=-3\times \frac{-3x+5}{-3}\left(x-4\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎3 ב- ‎-3 ו- ‎3.

$$-3x^{2}+17x-20=\left(-3x+5\right)\left(x-4\right)$$

הערך

$$\left(4-x\right)\left(3x-5\right)$$