פתור את -3q^2+3q+90

$$- 3 q ^ { 2 } + 3 q + 90$$

פרק לגורמים

$$-3\left(q-6\right)\left(q+5\right)$$

שלבי פתרון

הוצא את הגורם המשותף 3.

$$3\left(-q^{2}+q+30\right)$$

שקול את -q^{2}+q+30. פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- -q^{2}+aq+bq+30. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=1 ab=-30=-30$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 1.

$$a=6 b=-5$$

שכתב את ‎-q^{2}+q+30 כ- ‎\left(-q^{2}+6q\right)+\left(-5q+30\right).

$$\left(-q^{2}+6q\right)+\left(-5q+30\right)$$

הוצא את הגורם המשותף -q בקבוצה הראשונה ואת -5 בקבוצה השניה.

$$-q\left(q-6\right)-5\left(q-6\right)$$

הוצא את האיבר המשותף q-6 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(q-6\right)\left(-q-5\right)$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים המלא.

$$3\left(q-6\right)\left(-q-5\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$-3q^{2}+3q+90=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$q=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-3\right)\times 90}}{2\left(-3\right)}$$

‎3 בריבוע.

$$q=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-3\right)\times 90}}{2\left(-3\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-3.

$$q=\frac{-3±\sqrt{9+12\times 90}}{2\left(-3\right)}$$

הכפל את ‎12 ב- ‎90.

$$q=\frac{-3±\sqrt{9+1080}}{2\left(-3\right)}$$

הוסף את ‎9 ל- ‎1080.

$$q=\frac{-3±\sqrt{1089}}{2\left(-3\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1089.

$$q=\frac{-3±33}{2\left(-3\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-3.

$$q=\frac{-3±33}{-6}$$

כעת פתור את המשוואה q=\frac{-3±33}{-6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-3 ל- ‎33.

$$q=\frac{30}{-6}$$

חלק את ‎30 ב- ‎-6.

$$q=-5$$

כעת פתור את המשוואה q=\frac{-3±33}{-6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎33 מ- ‎-3.

$$q=-\frac{36}{-6}$$

חלק את ‎-36 ב- ‎-6.

$$q=6$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-5 במקום x_{1} וב- ‎6 במקום x_{2}.

$$-3q^{2}+3q+90=-3\left(q-\left(-5\right)\right)\left(q-6\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$-3q^{2}+3q+90=-3\left(q+5\right)\left(q-6\right)$$

הערך

$$-3\left(q-6\right)\left(q+5\right)$$