פתור את -2x^2+13x+7

$$- 2 x ^ { 2 } + 13 x + 7$$

פרק לגורמים

$$\left(7-x\right)\left(2x+1\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- -2x^{2}+ax+bx+7. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=13 ab=-2\times 7=-14$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -14.

$$-1,14 -2,7$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+14=13 -2+7=5$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 13.

$$a=14 b=-1$$

שכתב את ‎-2x^{2}+13x+7 כ- ‎\left(-2x^{2}+14x\right)+\left(-x+7\right).

$$\left(-2x^{2}+14x\right)+\left(-x+7\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x ב- -2x^{2}+14x.

$$2x\left(-x+7\right)-x+7$$

הוצא את האיבר המשותף -x+7 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(-x+7\right)\left(2x+1\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$-2x^{2}+13x+7=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-2\right)\times 7}}{2\left(-2\right)}$$

‎13 בריבוע.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-2\right)\times 7}}{2\left(-2\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+8\times 7}}{2\left(-2\right)}$$

הכפל את ‎8 ב- ‎7.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+56}}{2\left(-2\right)}$$

הוסף את ‎169 ל- ‎56.

$$x=\frac{-13±\sqrt{225}}{2\left(-2\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 225.

$$x=\frac{-13±15}{2\left(-2\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-2.

$$x=\frac{-13±15}{-4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-13±15}{-4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-13 ל- ‎15.

$$x=\frac{2}{-4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{2}{-4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-13±15}{-4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎15 מ- ‎-13.

$$x=-\frac{28}{-4}$$

חלק את ‎-28 ב- ‎-4.

$$x=7$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-\frac{1}{2} במקום x_{1} וב- ‎7 במקום x_{2}.

$$-2x^{2}+13x+7=-2\left(x-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-7\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$-2x^{2}+13x+7=-2\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-7\right)$$

הוסף את ‎\frac{1}{2} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$-2x^{2}+13x+7=-2\times \frac{-2x-1}{-2}\left(x-7\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎2 ב- ‎-2 ו- ‎2.

$$-2x^{2}+13x+7=\left(-2x-1\right)\left(x-7\right)$$

הערך

$$\left(7-x\right)\left(2x+1\right)$$