פתור את -2x^2+13x+24=0

$$- 2 x ^ { 2 } + 13 x + 24 = 0$$

פתור עבור x

$$x=8$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- -2x^{2}+ax+bx+24. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=13 ab=-2\times 24=-48$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 13.

$$a=16 b=-3$$

שכתב את ‎-2x^{2}+13x+24 כ- ‎\left(-2x^{2}+16x\right)+\left(-3x+24\right).

$$\left(-2x^{2}+16x\right)+\left(-3x+24\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$2x\left(-x+8\right)+3\left(-x+8\right)$$

הוצא את האיבר המשותף -x+8 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(-x+8\right)\left(2x+3\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את -x+8=0 ו- 2x+3=0.

$$x=8 x=-\frac{3}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-2x^{2}+13x+24=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -2 במקום a, ב- 13 במקום b, וב- 24 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-2\right)\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

‎13 בריבוע.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-2\right)\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+8\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

הכפל את ‎8 ב- ‎24.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+192}}{2\left(-2\right)}$$

הוסף את ‎169 ל- ‎192.

$$x=\frac{-13±\sqrt{361}}{2\left(-2\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 361.

$$x=\frac{-13±19}{2\left(-2\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-2.

$$x=\frac{-13±19}{-4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-13±19}{-4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-13 ל- ‎19.

$$x=\frac{6}{-4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{6}{-4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{3}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-13±19}{-4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎19 מ- ‎-13.

$$x=-\frac{32}{-4}$$

חלק את ‎-32 ב- ‎-4.

$$x=8$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=-\frac{3}{2} x=8$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+13x+24=0$$

החסר ‎24 משני אגפי המשוואה.

$$-2x^{2}+13x+24-24=-24$$

החסרת 24 מעצמו נותנת 0.

$$-2x^{2}+13x=-24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$\frac{-2x^{2}+13x}{-2}=-\frac{24}{-2}$$

חילוק ב- ‎-2 מבטל את ההכפלה ב- ‎-2.

$$x^{2}+\frac{13}{-2}x=-\frac{24}{-2}$$

חלק את ‎13 ב- ‎-2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{24}{-2}$$

חלק את ‎-24 ב- ‎-2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=12$$

חלק את ‎-\frac{13}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{13}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{13}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=12+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{13}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=12+\frac{169}{16}$$

הוסף את ‎12 ל- ‎\frac{169}{16}.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{361}{16}$$

פרק x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{361}{16}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{16}}$$

פשט.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{19}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{19}{4}$$

הוסף ‎\frac{13}{4} לשני אגפי המשוואה.

$$x=8 x=-\frac{3}{2}$$