פתור את -2x^2+12x-14>0

$$- 2 x ^ { 2 } + 12 x - 14 > 0$$

פתור עבור x

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

הכפל את אי-השוויון ב- ‎-1 כדי להפוך את המקדם של החזקה הגבוהה ביותר ב- ‎-2x^{2}+12x-14 לחיובי. מאחר -1 שלילי, כיוון אי-השוויון משתנה.

$$2x^{2}-12x+14<0$$

כדי לפתור את אי-השוויון, פרק לגורמים את האגף השמאלי. ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-12x+14=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎2 ב- a, את ‎-12 ב- b ואת ‎14 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4}$$

פתור את המשוואה ‎x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4} כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

שכתב את אי-שוויון באמצעות הפתרונות שהתקבלו.

$$2\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

כדי שהמכפלה תהיה שלילית, הסימנים של ‎x-\left(\sqrt{2}+3\right) ו- ‎x-\left(3-\sqrt{2}\right) צריכים להיות מנוגדים. שקול את המקרה כאשר ‎x-\left(\sqrt{2}+3\right) הוא חיובי ו- ‎x-\left(3-\sqrt{2}\right) הוא שלילי.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

זהו שקר עבור כל x.

$$x\in \emptyset$$

שקול את המקרה כאשר ‎x-\left(3-\sqrt{2}\right) הוא חיובי ו- ‎x-\left(\sqrt{2}+3\right) הוא שלילי.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

הפתרון הסופי הוא האיחוד של הפתרונות שהתקבלו.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$