פתור את -18a^2-102a+168

$$- 18 a ^ { 2 } - 102 a + 168$$

פרק לגורמים

$$6\left(-a-7\right)\left(3a-4\right)$$

שלבי פתרון

הוצא את הגורם המשותף 6.

$$6\left(-3a^{2}-17a+28\right)$$

שקול את -3a^{2}-17a+28. פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- -3a^{2}+pa+qa+28. כדי למצוא את p ו- q, הגדר מערכת לפתרון.

$$p+q=-17 pq=-3\times 28=-84$$

מאחר ש- pq הוא שלילי, ל- p ול- q יש סימנים הפוכים. מאחר ש- p+q הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -84.

$$1,-84 2,-42 3,-28 4,-21 6,-14 7,-12$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-84=-83 2-42=-40 3-28=-25 4-21=-17 6-14=-8 7-12=-5$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -17.

$$p=4 q=-21$$

שכתב את ‎-3a^{2}-17a+28 כ- ‎\left(-3a^{2}+4a\right)+\left(-21a+28\right).

$$\left(-3a^{2}+4a\right)+\left(-21a+28\right)$$

הוצא את הגורם המשותף -a בקבוצה הראשונה ואת -7 בקבוצה השניה.

$$-a\left(3a-4\right)-7\left(3a-4\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3a-4 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3a-4\right)\left(-a-7\right)$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים המלא.

$$6\left(3a-4\right)\left(-a-7\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$-18a^{2}-102a+168=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{\left(-102\right)^{2}-4\left(-18\right)\times 168}}{2\left(-18\right)}$$

‎-102 בריבוע.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-4\left(-18\right)\times 168}}{2\left(-18\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-18.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404+72\times 168}}{2\left(-18\right)}$$

הכפל את ‎72 ב- ‎168.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404+12096}}{2\left(-18\right)}$$

הוסף את ‎10404 ל- ‎12096.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{22500}}{2\left(-18\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 22500.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±150}{2\left(-18\right)}$$

ההופכי של ‎-102 הוא ‎102.

$$a=\frac{102±150}{2\left(-18\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-18.

$$a=\frac{102±150}{-36}$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{102±150}{-36} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎102 ל- ‎150.

$$a=\frac{252}{-36}$$

חלק את ‎252 ב- ‎-36.

$$a=-7$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{102±150}{-36} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎150 מ- ‎102.

$$a=-\frac{48}{-36}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-48}{-36} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 12.

$$a=\frac{4}{3}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-7 במקום x_{1} וב- ‎\frac{4}{3} במקום x_{2}.

$$-18a^{2}-102a+168=-18\left(a-\left(-7\right)\right)\left(a-\frac{4}{3}\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$-18a^{2}-102a+168=-18\left(a+7\right)\left(a-\frac{4}{3}\right)$$

החסר את a מ- \frac{4}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$-18a^{2}-102a+168=-18\left(a+7\right)\times \frac{-3a+4}{-3}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎3 ב- ‎-18 ו- ‎3.

$$-18a^{2}-102a+168=6\left(a+7\right)\left(-3a+4\right)$$

הערך

$$168-102a-18a^{2}$$