פתור את -16t^2+96t-108

$$- 16 t ^ { 2 } + 96 t - 108$$

פרק לגורמים

$$4\left(3-2t\right)\left(2t-9\right)$$

שלבי פתרון

הוצא את הגורם המשותף 4.

$$4\left(-4t^{2}+24t-27\right)$$

שקול את -4t^{2}+24t-27. פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- -4t^{2}+at+bt-27. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=24 ab=-4\left(-27\right)=108$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 108.

$$1,108 2,54 3,36 4,27 6,18 9,12$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+108=109 2+54=56 3+36=39 4+27=31 6+18=24 9+12=21$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 24.

$$a=18 b=6$$

שכתב את ‎-4t^{2}+24t-27 כ- ‎\left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right).

$$\left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right)$$

הוצא את הגורם המשותף -2t בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$-2t\left(2t-9\right)+3\left(2t-9\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2t-9 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים המלא.

$$4\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$-16t^{2}+96t-108=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$t=\frac{-96±\sqrt{96^{2}-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

‎96 בריבוע.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-16.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216+64\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

הכפל את ‎64 ב- ‎-108.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-6912}}{2\left(-16\right)}$$

הוסף את ‎9216 ל- ‎-6912.

$$t=\frac{-96±\sqrt{2304}}{2\left(-16\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 2304.

$$t=\frac{-96±48}{2\left(-16\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-16.

$$t=\frac{-96±48}{-32}$$

כעת פתור את המשוואה t=\frac{-96±48}{-32} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-96 ל- ‎48.

$$t=-\frac{48}{-32}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-48}{-32} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 16.

$$t=\frac{3}{2}$$

כעת פתור את המשוואה t=\frac{-96±48}{-32} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎48 מ- ‎-96.

$$t=-\frac{144}{-32}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-144}{-32} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 16.

$$t=\frac{9}{2}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{3}{2} במקום x_{1} וב- ‎\frac{9}{2} במקום x_{2}.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\left(t-\frac{3}{2}\right)\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

החסר את t מ- \frac{3}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

החסר את t מ- \frac{9}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\times \frac{-2t+9}{-2}$$

הכפל את ‎\frac{-2t+3}{-2} ב- ‎\frac{-2t+9}{-2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{-2\left(-2\right)}$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-2.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{4}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎4 ב- ‎-16 ו- ‎4.

$$-16t^{2}+96t-108=-4\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)$$

הערך

$$-16t^{2}+96t-108$$