פתור את -14x^2+x+4=0

$$- 14 x ^ { 2 } + x + 4 = 0$$

פתור עבור x

$$x=\frac{4}{7}\approx 0.571428571$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- -14x^{2}+ax+bx+4. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=1 ab=-14\times 4=-56$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -56.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 1.

$$a=8 b=-7$$

שכתב את ‎-14x^{2}+x+4 כ- ‎\left(-14x^{2}+8x\right)+\left(-7x+4\right).

$$\left(-14x^{2}+8x\right)+\left(-7x+4\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x ב- -14x^{2}+8x.

$$2x\left(-7x+4\right)-7x+4$$

הוצא את האיבר המשותף -7x+4 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(-7x+4\right)\left(2x+1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את -7x+4=0 ו- 2x+1=0.

$$x=\frac{4}{7} x=-\frac{1}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-14x^{2}+x+4=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -14 במקום a, ב- 1 במקום b, וב- 4 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

‎1 בריבוע.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-14.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+56\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

הכפל את ‎56 ב- ‎4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+224}}{2\left(-14\right)}$$

הוסף את ‎1 ל- ‎224.

$$x=\frac{-1±\sqrt{225}}{2\left(-14\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 225.

$$x=\frac{-1±15}{2\left(-14\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-14.

$$x=\frac{-1±15}{-28}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-1±15}{-28} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-1 ל- ‎15.

$$x=\frac{14}{-28}$$

צמצם את השבר ‎\frac{14}{-28} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 14.

$$x=-\frac{1}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-1±15}{-28} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎15 מ- ‎-1.

$$x=-\frac{16}{-28}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-16}{-28} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=\frac{4}{7}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=-\frac{1}{2} x=\frac{4}{7}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-14x^{2}+x+4=0$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$-14x^{2}+x+4-4=-4$$

החסרת 4 מעצמו נותנת 0.

$$-14x^{2}+x=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-14.

$$\frac{-14x^{2}+x}{-14}=-\frac{4}{-14}$$

חילוק ב- ‎-14 מבטל את ההכפלה ב- ‎-14.

$$x^{2}+\frac{1}{-14}x=-\frac{4}{-14}$$

חלק את ‎1 ב- ‎-14.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x=-\frac{4}{-14}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-4}{-14} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x=\frac{2}{7}$$

חלק את ‎-\frac{1}{14}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{28}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{28} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\left(-\frac{1}{28}\right)^{2}=\frac{2}{7}+\left(-\frac{1}{28}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{28} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784}=\frac{2}{7}+\frac{1}{784}$$

הוסף את ‎\frac{2}{7} ל- ‎\frac{1}{784} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784}=\frac{225}{784}$$

פרק x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{28}\right)^{2}=\frac{225}{784}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{784}}$$

פשט.

$$x-\frac{1}{28}=\frac{15}{28} x-\frac{1}{28}=-\frac{15}{28}$$

הוסף ‎\frac{1}{28} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{4}{7} x=-\frac{1}{2}$$