פתור את -y^2+10y+400=0

$$- { y }^{ 2 } +10y+400=0$$

פתור עבור y

$$y=5\sqrt{17}+5\approx 25.615528128$$

$$y=5-5\sqrt{17}\approx -15.615528128$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-y^{2}+10y+400=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -1 במקום a, ב- 10 במקום b, וב- 400 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-1\right)\times 400}}{2\left(-1\right)}$$

‎10 בריבוע.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-1\right)\times 400}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-1.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100+4\times 400}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎4 ב- ‎400.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100+1600}}{2\left(-1\right)}$$

הוסף את ‎100 ל- ‎1600.

$$y=\frac{-10±\sqrt{1700}}{2\left(-1\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1700.

$$y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-1.

$$y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{-2}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{-2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-10 ל- ‎10\sqrt{17}.

$$y=\frac{10\sqrt{17}-10}{-2}$$

חלק את ‎-10+10\sqrt{17} ב- ‎-2.

$$y=5-5\sqrt{17}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{-2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎10\sqrt{17} מ- ‎-10.

$$y=\frac{-10\sqrt{17}-10}{-2}$$

חלק את ‎-10-10\sqrt{17} ב- ‎-2.

$$y=5\sqrt{17}+5$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$y=5-5\sqrt{17} y=5\sqrt{17}+5$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-y^{2}+10y+400=0$$

החסר ‎400 משני אגפי המשוואה.

$$-y^{2}+10y+400-400=-400$$

החסרת 400 מעצמו נותנת 0.

$$-y^{2}+10y=-400$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$\frac{-y^{2}+10y}{-1}=-\frac{400}{-1}$$

חילוק ב- ‎-1 מבטל את ההכפלה ב- ‎-1.

$$y^{2}+\frac{10}{-1}y=-\frac{400}{-1}$$

חלק את ‎10 ב- ‎-1.

$$y^{2}-10y=-\frac{400}{-1}$$

חלק את ‎-400 ב- ‎-1.

$$y^{2}-10y=400$$

חלק את ‎-10, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-5. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -5 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$y^{2}-10y+\left(-5\right)^{2}=400+\left(-5\right)^{2}$$

‎-5 בריבוע.

$$y^{2}-10y+25=400+25$$

הוסף את ‎400 ל- ‎25.

$$y^{2}-10y+25=425$$

פרק y^{2}-10y+25 לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-5\right)^{2}=425$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(y-5\right)^{2}}=\sqrt{425}$$

פשט.

$$y-5=5\sqrt{17} y-5=-5\sqrt{17}$$

הוסף ‎5 לשני אגפי המשוואה.

$$y=5\sqrt{17}+5 y=5-5\sqrt{17}$$