פתור את -x^2+7x-10=0

$$- { x }^{ 2 } +7x-10 = 0$$

פתור עבור x

$$x=2$$

$$x=5$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- -x^{2}+ax+bx-10. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=7 ab=-\left(-10\right)=10$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 10.

$$1,10 2,5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+10=11 2+5=7$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 7.

$$a=5 b=2$$

שכתב את ‎-x^{2}+7x-10 כ- ‎\left(-x^{2}+5x\right)+\left(2x-10\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(2x-10\right)$$

הוצא את הגורם המשותף -x בקבוצה הראשונה ואת 2 בקבוצה השניה.

$$-x\left(x-5\right)+2\left(x-5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-5\right)\left(-x+2\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-5=0 ו- -x+2=0.

$$x=5 x=2$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-x^{2}+7x-10=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -1 במקום a, ב- 7 במקום b, וב- -10 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-1\right)\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

‎7 בריבוע.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-1\right)\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+4\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40}}{2\left(-1\right)}$$

הוסף את ‎49 ל- ‎-40.

$$x=\frac{-7±\sqrt{9}}{2\left(-1\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 9.

$$x=\frac{-7±3}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-7±3}{-2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-7±3}{-2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-7 ל- ‎3.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

חלק את ‎-4 ב- ‎-2.

$$x=2$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-7±3}{-2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎3 מ- ‎-7.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

חלק את ‎-10 ב- ‎-2.

$$x=5$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=2 x=5$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+7x-10=0$$

הוסף ‎10 לשני אגפי המשוואה.

$$-x^{2}+7x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

החסרת -10 מעצמו נותנת 0.

$$-x^{2}+7x=-\left(-10\right)$$

החסר ‎-10 מ- ‎0.

$$-x^{2}+7x=10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$\frac{-x^{2}+7x}{-1}=\frac{10}{-1}$$

חילוק ב- ‎-1 מבטל את ההכפלה ב- ‎-1.

$$x^{2}+\frac{7}{-1}x=\frac{10}{-1}$$

חלק את ‎7 ב- ‎-1.

$$x^{2}-7x=\frac{10}{-1}$$

חלק את ‎10 ב- ‎-1.

$$x^{2}-7x=-10$$

חלק את ‎-7, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{7}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{7}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{7}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

הוסף את ‎-10 ל- ‎\frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

פרק x^{2}-7x+\frac{49}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

פשט.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

הוסף ‎\frac{7}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$x=5 x=2$$