פתור את -x^2+4x+480=0

$$- { x }^{ 2 } +4x+480=0$$

פתור עבור x

$$x=-20$$

$$x=24$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- -x^{2}+ax+bx+480. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=4 ab=-480=-480$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -480.

$$-1,480 -2,240 -3,160 -4,120 -5,96 -6,80 -8,60 -10,48 -12,40 -15,32 -16,30 -20,24$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+480=479 -2+240=238 -3+160=157 -4+120=116 -5+96=91 -6+80=74 -8+60=52 -10+48=38 -12+40=28 -15+32=17 -16+30=14 -20+24=4$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 4.

$$a=24 b=-20$$

שכתב את ‎-x^{2}+4x+480 כ- ‎\left(-x^{2}+24x\right)+\left(-20x+480\right).

$$\left(-x^{2}+24x\right)+\left(-20x+480\right)$$

הוצא את הגורם המשותף -x בקבוצה הראשונה ואת -20 בקבוצה השניה.

$$-x\left(x-24\right)-20\left(x-24\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-24 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-24\right)\left(-x-20\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-24=0 ו- -x-20=0.

$$x=24 x=-20$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-x^{2}+4x+480=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -1 במקום a, ב- 4 במקום b, וב- 480 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-1\right)\times 480}}{2\left(-1\right)}$$

‎4 בריבוע.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-1\right)\times 480}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+4\times 480}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎4 ב- ‎480.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+1920}}{2\left(-1\right)}$$

הוסף את ‎16 ל- ‎1920.

$$x=\frac{-4±\sqrt{1936}}{2\left(-1\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1936.

$$x=\frac{-4±44}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-4±44}{-2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-4±44}{-2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-4 ל- ‎44.

$$x=\frac{40}{-2}$$

חלק את ‎40 ב- ‎-2.

$$x=-20$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-4±44}{-2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎44 מ- ‎-4.

$$x=-\frac{48}{-2}$$

חלק את ‎-48 ב- ‎-2.

$$x=24$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=-20 x=24$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+4x+480=0$$

החסר ‎480 משני אגפי המשוואה.

$$-x^{2}+4x+480-480=-480$$

החסרת 480 מעצמו נותנת 0.

$$-x^{2}+4x=-480$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$\frac{-x^{2}+4x}{-1}=-\frac{480}{-1}$$

חילוק ב- ‎-1 מבטל את ההכפלה ב- ‎-1.

$$x^{2}+\frac{4}{-1}x=-\frac{480}{-1}$$

חלק את ‎4 ב- ‎-1.

$$x^{2}-4x=-\frac{480}{-1}$$

חלק את ‎-480 ב- ‎-1.

$$x^{2}-4x=480$$

חלק את ‎-4, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-2. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -2 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=480+\left(-2\right)^{2}$$

‎-2 בריבוע.

$$x^{2}-4x+4=480+4$$

הוסף את ‎480 ל- ‎4.

$$x^{2}-4x+4=484$$

פרק x^{2}-4x+4 לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=484$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{484}$$

פשט.

$$x-2=22 x-2=-22$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$x=24 x=-20$$