פתור את -x^2+45x-200=124

$$- { x }^{ 2 } +45x-200=124$$

פתור עבור x

$$x=9$$

$$x=36$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

החסר ‎124 משני האגפים.

$$-x^{2}+45x-200-124=0$$

החסר את 124 מ- -200 כדי לקבל -324.

$$-x^{2}+45x-324=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- -x^{2}+ax+bx-324. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=45 ab=-\left(-324\right)=324$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 324.

$$1,324 2,162 3,108 4,81 6,54 9,36 12,27 18,18$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+324=325 2+162=164 3+108=111 4+81=85 6+54=60 9+36=45 12+27=39 18+18=36$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 45.

$$a=36 b=9$$

שכתב את ‎-x^{2}+45x-324 כ- ‎\left(-x^{2}+36x\right)+\left(9x-324\right).

$$\left(-x^{2}+36x\right)+\left(9x-324\right)$$

הוצא את הגורם המשותף -x בקבוצה הראשונה ואת 9 בקבוצה השניה.

$$-x\left(x-36\right)+9\left(x-36\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-36 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-36\right)\left(-x+9\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-36=0 ו- -x+9=0.

$$x=36 x=9$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-x^{2}+45x-200=124$$

החסר ‎124 משני אגפי המשוואה.

$$-x^{2}+45x-200-124=124-124$$

החסרת 124 מעצמו נותנת 0.

$$-x^{2}+45x-200-124=0$$

החסר ‎124 מ- ‎-200.

$$-x^{2}+45x-324=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -1 במקום a, ב- 45 במקום b, וב- -324 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\left(-1\right)\left(-324\right)}}{2\left(-1\right)}$$

‎45 בריבוע.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-4\left(-1\right)\left(-324\right)}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025+4\left(-324\right)}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-324.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-1296}}{2\left(-1\right)}$$

הוסף את ‎2025 ל- ‎-1296.

$$x=\frac{-45±\sqrt{729}}{2\left(-1\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 729.

$$x=\frac{-45±27}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-45±27}{-2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-45±27}{-2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-45 ל- ‎27.

$$x=-\frac{18}{-2}$$

חלק את ‎-18 ב- ‎-2.

$$x=9$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-45±27}{-2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎27 מ- ‎-45.

$$x=-\frac{72}{-2}$$

חלק את ‎-72 ב- ‎-2.

$$x=36$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=9 x=36$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+45x-200=124$$

הוסף ‎200 לשני אגפי המשוואה.

$$-x^{2}+45x-200-\left(-200\right)=124-\left(-200\right)$$

החסרת -200 מעצמו נותנת 0.

$$-x^{2}+45x=124-\left(-200\right)$$

החסר ‎-200 מ- ‎124.

$$-x^{2}+45x=324$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$\frac{-x^{2}+45x}{-1}=\frac{324}{-1}$$

חילוק ב- ‎-1 מבטל את ההכפלה ב- ‎-1.

$$x^{2}+\frac{45}{-1}x=\frac{324}{-1}$$

חלק את ‎45 ב- ‎-1.

$$x^{2}-45x=\frac{324}{-1}$$

חלק את ‎324 ב- ‎-1.

$$x^{2}-45x=-324$$

חלק את ‎-45, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{45}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{45}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-45x+\left(-\frac{45}{2}\right)^{2}=-324+\left(-\frac{45}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{45}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-45x+\frac{2025}{4}=-324+\frac{2025}{4}$$

הוסף את ‎-324 ל- ‎\frac{2025}{4}.

$$x^{2}-45x+\frac{2025}{4}=\frac{729}{4}$$

פרק x^{2}-45x+\frac{2025}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{45}{2}\right)^{2}=\frac{729}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{45}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{4}}$$

פשט.

$$x-\frac{45}{2}=\frac{27}{2} x-\frac{45}{2}=-\frac{27}{2}$$

הוסף ‎\frac{45}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$x=36 x=9$$