פתור את -1/5x^2+3x+16/5=0

$$- \frac{ 1 }{ 5 } { x }^{ 2 } +3x+ \frac{ 16 }{ 5 } =0$$

פתור עבור x

$$x=-1$$

$$x=16$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-\frac{1}{5}x^{2}+3x+\frac{16}{5}=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -\frac{1}{5} במקום a, ב- 3 במקום b, וב- \frac{16}{5} במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-\frac{1}{5}\right)\times \frac{16}{5}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

‎3 בריבוע.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-\frac{1}{5}\right)\times \frac{16}{5}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-\frac{1}{5}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+\frac{4}{5}\times \frac{16}{5}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

הכפל את ‎\frac{4}{5} ב- ‎\frac{16}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+\frac{64}{25}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

הוסף את ‎9 ל- ‎\frac{64}{25}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{\frac{289}{25}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של \frac{289}{25}.

$$x=\frac{-3±\frac{17}{5}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{1}{5}.

$$x=\frac{-3±\frac{17}{5}}{-\frac{2}{5}}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-3±\frac{17}{5}}{-\frac{2}{5}} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-3 ל- ‎\frac{17}{5}.

$$x=\frac{\frac{2}{5}}{-\frac{2}{5}}$$

חלק את ‎\frac{2}{5} ב- ‎-\frac{2}{5} על-ידי הכפלת ‎\frac{2}{5} בהופכי של ‎-\frac{2}{5}.

$$x=-1$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-3±\frac{17}{5}}{-\frac{2}{5}} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎\frac{17}{5} מ- ‎-3.

$$x=-\frac{\frac{32}{5}}{-\frac{2}{5}}$$

חלק את ‎-\frac{32}{5} ב- ‎-\frac{2}{5} על-ידי הכפלת ‎-\frac{32}{5} בהופכי של ‎-\frac{2}{5}.

$$x=16$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=-1 x=16$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-\frac{1}{5}x^{2}+3x+\frac{16}{5}=0$$

החסר ‎\frac{16}{5} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{1}{5}x^{2}+3x+\frac{16}{5}-\frac{16}{5}=-\frac{16}{5}$$

החסרת \frac{16}{5} מעצמו נותנת 0.

$$-\frac{1}{5}x^{2}+3x=-\frac{16}{5}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-5.

$$\frac{-\frac{1}{5}x^{2}+3x}{-\frac{1}{5}}=-\frac{\frac{16}{5}}{-\frac{1}{5}}$$

חילוק ב- ‎-\frac{1}{5} מבטל את ההכפלה ב- ‎-\frac{1}{5}.

$$x^{2}+\frac{3}{-\frac{1}{5}}x=-\frac{\frac{16}{5}}{-\frac{1}{5}}$$

חלק את ‎3 ב- ‎-\frac{1}{5} על-ידי הכפלת ‎3 בהופכי של ‎-\frac{1}{5}.

$$x^{2}-15x=-\frac{\frac{16}{5}}{-\frac{1}{5}}$$

חלק את ‎-\frac{16}{5} ב- ‎-\frac{1}{5} על-ידי הכפלת ‎-\frac{16}{5} בהופכי של ‎-\frac{1}{5}.

$$x^{2}-15x=16$$

חלק את ‎-15, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{15}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{15}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=16+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{15}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=16+\frac{225}{4}$$

הוסף את ‎16 ל- ‎\frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{289}{4}$$

פרק x^{2}-15x+\frac{225}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

פשט.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{17}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{17}{2}$$

הוסף ‎\frac{15}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$x=16 x=-1$$