פתור את (3y^2-7y+4)

$$(3 { y }^{ 2 } -7y+4)$$

פרק לגורמים

$$\left(y-1\right)\left(3y-4\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 3y^{2}+ay+by+4. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-7 ab=3\times 4=12$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -7.

$$a=-4 b=-3$$

שכתב את ‎3y^{2}-7y+4 כ- ‎\left(3y^{2}-4y\right)+\left(-3y+4\right).

$$\left(3y^{2}-4y\right)+\left(-3y+4\right)$$

הוצא את הגורם המשותף y בקבוצה הראשונה ואת -1 בקבוצה השניה.

$$y\left(3y-4\right)-\left(3y-4\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3y-4 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3y-4\right)\left(y-1\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$3y^{2}-7y+4=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

‎-7 בריבוע.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\times 4}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎4.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎49 ל- ‎-48.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 3}$$

ההופכי של ‎-7 הוא ‎7.

$$y=\frac{7±1}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$y=\frac{7±1}{6}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{7±1}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎7 ל- ‎1.

$$y=\frac{8}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{8}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$y=\frac{4}{3}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{7±1}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎1 מ- ‎7.

$$y=\frac{6}{6}$$

חלק את ‎6 ב- ‎6.

$$y=1$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{4}{3} במקום x_{1} וב- ‎1 במקום x_{2}.

$$3y^{2}-7y+4=3\left(y-\frac{4}{3}\right)\left(y-1\right)$$

החסר את y מ- \frac{4}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$3y^{2}-7y+4=3\times \frac{3y-4}{3}\left(y-1\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎3 ב- ‎3 ו- ‎3.

$$3y^{2}-7y+4=\left(3y-4\right)\left(y-1\right)$$

הערך

$$\left(y-1\right)\left(3y-4\right)$$