פתור את (-y^2+3y+5=0)

$$(- { y }^{ 2 } +3y+5=0)$$

פתור עבור y

$$y = \frac{\sqrt{29} + 3}{2} \approx 4.192582404$$

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}\approx -1.192582404$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-y^{2}+3y+5=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -1 במקום a, ב- 3 במקום b, וב- 5 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

‎3 בריבוע.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-1.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎4 ב- ‎5.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+20}}{2\left(-1\right)}$$

הוסף את ‎9 ל- ‎20.

$$y=\frac{-3±\sqrt{29}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-1.

$$y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-3 ל- ‎\sqrt{29}.

$$y=\frac{\sqrt{29}-3}{-2}$$

חלק את ‎-3+\sqrt{29} ב- ‎-2.

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎\sqrt{29} מ- ‎-3.

$$y=\frac{-\sqrt{29}-3}{-2}$$

חלק את ‎-3-\sqrt{29} ב- ‎-2.

$$y=\frac{\sqrt{29}+3}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2} y=\frac{\sqrt{29}+3}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-y^{2}+3y+5=0$$

החסר ‎5 משני אגפי המשוואה.

$$-y^{2}+3y+5-5=-5$$

החסרת 5 מעצמו נותנת 0.

$$-y^{2}+3y=-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$\frac{-y^{2}+3y}{-1}=-\frac{5}{-1}$$

חילוק ב- ‎-1 מבטל את ההכפלה ב- ‎-1.

$$y^{2}+\frac{3}{-1}y=-\frac{5}{-1}$$

חלק את ‎3 ב- ‎-1.

$$y^{2}-3y=-\frac{5}{-1}$$

חלק את ‎-5 ב- ‎-1.

$$y^{2}-3y=5$$

חלק את ‎-3, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{3}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{3}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$y^{2}-3y+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=5+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{3}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=5+\frac{9}{4}$$

הוסף את ‎5 ל- ‎\frac{9}{4}.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=\frac{29}{4}$$

פרק y^{2}-3y+\frac{9}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{29}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{29}{4}}$$

פשט.

$$y-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{29}}{2} y-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{29}}{2}$$

הוסף ‎\frac{3}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$y=\frac{\sqrt{29}+3}{2} y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$$