פתור את (x-9)^3:24=9

$$( x - 9 ) ^ { 3 } : 24 = 9$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=15$$

$$x=6+3\sqrt{3}i\approx 6+5.196152423i$$

$$x=-3\sqrt{3}i+6\approx 6-5.196152423i$$

שלבי פתרון

הכפל את שני האגפים ב- ‎24.

$$\left(x-9\right)^{3}=9\times 24$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} כדי להרחיב את ‎\left(x-9\right)^{3}.

$$x^{3}-27x^{2}+243x-729=9\times 24$$

הכפל את ‎9 ו- ‎24 כדי לקבל ‎216.

$$x^{3}-27x^{2}+243x-729=216$$

החסר ‎216 משני האגפים.

$$x^{3}-27x^{2}+243x-729-216=0$$

החסר את 216 מ- -729 כדי לקבל -945.

$$x^{3}-27x^{2}+243x-945=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -945 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±945,±315,±189,±135,±105,±63,±45,±35,±27,±21,±15,±9,±7,±5,±3,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=15$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{3}-27x^{2}+243x-945 ב- ‎x-15 כדי לקבל ‎x^{2}-12x+63. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{2}-12x+63=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎-12 ב- b ואת ‎63 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 1\times 63}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{12±\sqrt{-108}}{2}$$

פתור את המשוואה ‎x^{2}-12x+63=0 כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=-3i\sqrt{3}+6 x=6+3i\sqrt{3}$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=15 x=-3i\sqrt{3}+6 x=6+3i\sqrt{3}$$

פתור עבור x

$$x=15$$

שלבי פתרון

הכפל את שני האגפים ב- ‎24.

$$\left(x-9\right)^{3}=9\times 24$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} כדי להרחיב את ‎\left(x-9\right)^{3}.

$$x^{3}-27x^{2}+243x-729=9\times 24$$

הכפל את ‎9 ו- ‎24 כדי לקבל ‎216.

$$x^{3}-27x^{2}+243x-729=216$$

החסר ‎216 משני האגפים.

$$x^{3}-27x^{2}+243x-729-216=0$$

החסר את 216 מ- -729 כדי לקבל -945.

$$x^{3}-27x^{2}+243x-945=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -945 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±945,±315,±189,±135,±105,±63,±45,±35,±27,±21,±15,±9,±7,±5,±3,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=15$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{3}-27x^{2}+243x-945 ב- ‎x-15 כדי לקבל ‎x^{2}-12x+63. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{2}-12x+63=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎-12 ב- b ואת ‎63 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 1\times 63}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{12±\sqrt{-108}}{2}$$

מאחר שהשורש הריבועי של מספר שלילי אינו מוגדר בשדה הממשי, לא קיימים פתרונות.

$$x\in \emptyset$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=15$$