פתור את (x-4)^2*(x+3)^3*(x-1)=0

$$( x - 4 ) ^ { 2 } \cdot ( x + 3 ) ^ { 3 } \cdot ( x - 1 ) = 0$$

פתור עבור x

$$x=-3$$

$$x=4$$

$$x=1$$

שלבי פתרון

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x-4\right)^{2}.

$$\left(x^{2}-8x+16\right)\left(x+3\right)^{3}\left(x-1\right)=0$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} כדי להרחיב את ‎\left(x+3\right)^{3}.

$$\left(x^{2}-8x+16\right)\left(x^{3}+9x^{2}+27x+27\right)\left(x-1\right)=0$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x^{2}-8x+16 ב- x^{3}+9x^{2}+27x+27 ולכנס איברים דומים.

$$\left(x^{5}+x^{4}-29x^{3}-45x^{2}+216x+432\right)\left(x-1\right)=0$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x^{5}+x^{4}-29x^{3}-45x^{2}+216x+432 ב- x-1 ולכנס איברים דומים.

$$x^{6}-30x^{4}-16x^{3}+261x^{2}+216x-432=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -432 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±432,±216,±144,±108,±72,±54,±48,±36,±27,±24,±18,±16,±12,±9,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=1$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{6}-30x^{4}-16x^{3}+261x^{2}+216x-432 ב- ‎x-1 כדי לקבל ‎x^{5}+x^{4}-29x^{3}-45x^{2}+216x+432. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{5}+x^{4}-29x^{3}-45x^{2}+216x+432=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 432 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±432,±216,±144,±108,±72,±54,±48,±36,±27,±24,±18,±16,±12,±9,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-3$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{5}+x^{4}-29x^{3}-45x^{2}+216x+432 ב- ‎x+3 כדי לקבל ‎x^{4}-2x^{3}-23x^{2}+24x+144. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{4}-2x^{3}-23x^{2}+24x+144=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 144 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±144,±72,±48,±36,±24,±18,±16,±12,±9,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-3$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{4}-2x^{3}-23x^{2}+24x+144 ב- ‎x+3 כדי לקבל ‎x^{3}-5x^{2}-8x+48. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{3}-5x^{2}-8x+48=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 48 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±48,±24,±16,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-3$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{3}-5x^{2}-8x+48 ב- ‎x+3 כדי לקבל ‎x^{2}-8x+16. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{2}-8x+16=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎-8 ב- b ואת ‎16 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 1\times 16}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{8±0}{2}$$

הפתרונות זהים.

$$x=4$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=1 x=-3 x=4$$