פתור את (x-3)^3=125

$$( x - 3 ) ^ { 3 } = 125$$

פתור עבור x

$$x=8$$

שלבי פתרון

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} כדי להרחיב את ‎\left(x-3\right)^{3}.

$$x^{3}-9x^{2}+27x-27=125$$

החסר ‎125 משני האגפים.

$$x^{3}-9x^{2}+27x-27-125=0$$

החסר את 125 מ- -27 כדי לקבל -152.

$$x^{3}-9x^{2}+27x-152=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -152 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±152,±76,±38,±19,±8,±4,±2,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=8$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{3}-9x^{2}+27x-152 ב- ‎x-8 כדי לקבל ‎x^{2}-x+19. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{2}-x+19=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎-1 ב- b ואת ‎19 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\times 19}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{1±\sqrt{-75}}{2}$$

מאחר שהשורש הריבועי של מספר שלילי אינו מוגדר בשדה הממשי, לא קיימים פתרונות.

$$x\in \emptyset$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=8$$