פתור את (x-2)^3=64

$$( x - 2 ) ^ { 3 } = 64$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=6$$

$$x=2\sqrt{3}i\approx 3.464101615i$$

$$x=-2\sqrt{3}i\approx -0-3.464101615i$$

שלבי פתרון

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} כדי להרחיב את ‎\left(x-2\right)^{3}.

$$x^{3}-6x^{2}+12x-8=64$$

החסר ‎64 משני האגפים.

$$x^{3}-6x^{2}+12x-8-64=0$$

החסר את 64 מ- -8 כדי לקבל -72.

$$x^{3}-6x^{2}+12x-72=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -72 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±72,±36,±24,±18,±12,±9,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=6$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{3}-6x^{2}+12x-72 ב- ‎x-6 כדי לקבל ‎x^{2}+12. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{2}+12=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎0 ב- b ואת ‎12 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 12}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{0±\sqrt{-48}}{2}$$

פתור את המשוואה ‎x^{2}+12=0 כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=-2i\sqrt{3} x=2i\sqrt{3}$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=6 x=-2i\sqrt{3} x=2i\sqrt{3}$$

פתור עבור x

$$x=6$$

שלבי פתרון

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} כדי להרחיב את ‎\left(x-2\right)^{3}.

$$x^{3}-6x^{2}+12x-8=64$$

החסר ‎64 משני האגפים.

$$x^{3}-6x^{2}+12x-8-64=0$$

החסר את 64 מ- -8 כדי לקבל -72.

$$x^{3}-6x^{2}+12x-72=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -72 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±72,±36,±24,±18,±12,±9,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=6$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{3}-6x^{2}+12x-72 ב- ‎x-6 כדי לקבל ‎x^{2}+12. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{2}+12=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎0 ב- b ואת ‎12 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 12}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{0±\sqrt{-48}}{2}$$

מאחר שהשורש הריבועי של מספר שלילי אינו מוגדר בשדה הממשי, לא קיימים פתרונות.

$$x\in \emptyset$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=6$$