פתור את (x-1)^3=-27

$$( x - 1 ) ^ { 3 } = - 27$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=-2$$

$$x=\frac{5+3\sqrt{3}i}{2}\approx 2.5+2.598076211i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i+5}{2}\approx 2.5-2.598076211i$$

שלבי פתרון

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} כדי להרחיב את ‎\left(x-1\right)^{3}.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=-27$$

הוסף ‎27 משני הצדדים.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1+27=0$$

חבר את ‎-1 ו- ‎27 כדי לקבל ‎26.

$$x^{3}-3x^{2}+3x+26=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 26 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±26,±13,±2,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-2$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{3}-3x^{2}+3x+26 ב- ‎x+2 כדי לקבל ‎x^{2}-5x+13. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{2}-5x+13=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎-5 ב- b ואת ‎13 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 1\times 13}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{5±\sqrt{-27}}{2}$$

פתור את המשוואה ‎x^{2}-5x+13=0 כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=\frac{-3i\sqrt{3}+5}{2} x=\frac{5+3i\sqrt{3}}{2}$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=-2 x=\frac{-3i\sqrt{3}+5}{2} x=\frac{5+3i\sqrt{3}}{2}$$

פתור עבור x

$$x=-2$$

שלבי פתרון

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} כדי להרחיב את ‎\left(x-1\right)^{3}.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=-27$$

הוסף ‎27 משני הצדדים.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1+27=0$$

חבר את ‎-1 ו- ‎27 כדי לקבל ‎26.

$$x^{3}-3x^{2}+3x+26=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 26 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±26,±13,±2,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-2$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{3}-3x^{2}+3x+26 ב- ‎x+2 כדי לקבל ‎x^{2}-5x+13. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{2}-5x+13=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎-5 ב- b ואת ‎13 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 1\times 13}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{5±\sqrt{-27}}{2}$$

מאחר שהשורש הריבועי של מספר שלילי אינו מוגדר בשדה הממשי, לא קיימים פתרונות.

$$x\in \emptyset$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=-2$$