פתור את (x^{2}+x+1)(x^2+x-1)-(x^2-1)^2-3(x-1)(x+1)-2^0

$$( x ^ { 2 } + x + 1 ) ( x ^ { 2 } + x - 1 ) - ( x ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } - 3 ( x - 1 ) ( x + 1 ) - 2 ^ { 0 }$$

הערך

$$2x^{3}$$

שלבי פתרון

שקול את \left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{2}+x-1\right). ניתן להמיר כפל להבדל של ריבועים באמצעות הכלל: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}, שבו a=x^{2}+x וb=1. ‎1 בריבוע.

$$\left(x^{2}+x\right)^{2}-1-\left(x^{2}-1\right)^{2}-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x^{2}+x\right)^{2}.

$$\left(x^{2}\right)^{2}+2x^{2}x+x^{2}-1-\left(x^{2}-1\right)^{2}-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0}$$

כדי להעלות חזקה בחזקה אחרת, הכפל את המעריכים. הכפל את ‎2 ו- 2‎ כדי לקבל ‎4.

$$x^{4}+2x^{2}x+x^{2}-1-\left(x^{2}-1\right)^{2}-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0}$$

כדי להכפיל חזקות בעלות אותו בסיס, חבר את המעריכים שלהן. חבר את ‎2 ו- ‎1 כדי לקבל ‎3.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}-1-\left(x^{2}-1\right)^{2}-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x^{2}-1\right)^{2}.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}-1-\left(\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}+1\right)-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0}$$

כדי להעלות חזקה בחזקה אחרת, הכפל את המעריכים. הכפל את ‎2 ו- 2‎ כדי לקבל ‎4.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}-1-\left(x^{4}-2x^{2}+1\right)-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0}$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎x^{4}-2x^{2}+1, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}-1-x^{4}+2x^{2}-1-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0}$$

כנס את ‎x^{4} ו- ‎-x^{4} כדי לקבל ‎0.

$$2x^{3}+x^{2}-1+2x^{2}-1-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0}$$

כנס את ‎x^{2} ו- ‎2x^{2} כדי לקבל ‎3x^{2}.

$$2x^{3}+3x^{2}-1-1-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0}$$

החסר את 1 מ- -1 כדי לקבל -2.

$$2x^{3}+3x^{2}-2-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0}$$

חשב את 2 בחזקת 0 וקבל 1.

$$2x^{3}+3x^{2}-2-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-1$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -3 ב- x-1.

$$2x^{3}+3x^{2}-2+\left(-3x+3\right)\left(x+1\right)-1$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -3x+3 ב- x+1 ולכנס איברים דומים.

$$2x^{3}+3x^{2}-2-3x^{2}+3-1$$

כנס את ‎3x^{2} ו- ‎-3x^{2} כדי לקבל ‎0.

$$2x^{3}-2+3-1$$

חבר את ‎-2 ו- ‎3 כדי לקבל ‎1.

$$2x^{3}+1-1$$

החסר את 1 מ- 1 כדי לקבל 0.

$$2x^{3}$$

גזור ביחס ל- ‎x

$$6x^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בהגדרה של נגזרת

שקול את \left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{2}+x-1\right). ניתן להמיר כפל להבדל של ריבועים באמצעות הכלל: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}, שבו a=x^{2}+x וb=1. ‎1 בריבוע.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\left(x^{2}+x\right)^{2}-1-\left(x^{2}-1\right)^{2}-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0})$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x^{2}+x\right)^{2}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\left(x^{2}\right)^{2}+2x^{2}x+x^{2}-1-\left(x^{2}-1\right)^{2}-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0})$$

כדי להעלות חזקה בחזקה אחרת, הכפל את המעריכים. הכפל את ‎2 ו- 2‎ כדי לקבל ‎4.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{4}+2x^{2}x+x^{2}-1-\left(x^{2}-1\right)^{2}-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0})$$

כדי להכפיל חזקות בעלות אותו בסיס, חבר את המעריכים שלהן. חבר את ‎2 ו- ‎1 כדי לקבל ‎3.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{4}+2x^{3}+x^{2}-1-\left(x^{2}-1\right)^{2}-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0})$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x^{2}-1\right)^{2}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{4}+2x^{3}+x^{2}-1-\left(\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}+1\right)-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0})$$

כדי להעלות חזקה בחזקה אחרת, הכפל את המעריכים. הכפל את ‎2 ו- 2‎ כדי לקבל ‎4.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{4}+2x^{3}+x^{2}-1-\left(x^{4}-2x^{2}+1\right)-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0})$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎x^{4}-2x^{2}+1, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{4}+2x^{3}+x^{2}-1-x^{4}+2x^{2}-1-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0})$$

כנס את ‎x^{4} ו- ‎-x^{4} כדי לקבל ‎0.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^{3}+x^{2}-1+2x^{2}-1-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0})$$

כנס את ‎x^{2} ו- ‎2x^{2} כדי לקבל ‎3x^{2}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^{3}+3x^{2}-1-1-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0})$$

החסר את 1 מ- -1 כדי לקבל -2.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^{3}+3x^{2}-2-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2^{0})$$

חשב את 2 בחזקת 0 וקבל 1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^{3}+3x^{2}-2-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)-1)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -3 ב- x-1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^{3}+3x^{2}-2+\left(-3x+3\right)\left(x+1\right)-1)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -3x+3 ב- x+1 ולכנס איברים דומים.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^{3}+3x^{2}-2-3x^{2}+3-1)$$

כנס את ‎3x^{2} ו- ‎-3x^{2} כדי לקבל ‎0.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^{3}-2+3-1)$$

חבר את ‎-2 ו- ‎3 כדי לקבל ‎1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^{3}+1-1)$$

החסר את 1 מ- 1 כדי לקבל 0.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^{3})$$

הנגזרת של ax^{n} מnax^{n-1}.

$$3\times 2x^{3-1}$$

הכפל את ‎3 ב- ‎2.

$$6x^{3-1}$$

החסר ‎1 מ- ‎3.

$$6x^{2}$$